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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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pxchg1200
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发表于 2013-8-29 11:04
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[不等式]
三元不等式
If $a,b,c$ are positive real numbers such that $ab+bc+ca=3$, then
\[ \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\ge\sqrt{4(a+b+c)+6}. \]
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reny
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发表于 2013-8-29 11:50
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只看该作者
本帖最后由 reny 于 2013-8-29 11:54 编辑
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1#
pxchg1200
两边平方得
$$\sum{(\sqrt{a^2+3}-a)}\geqslant 3$$
令$a=\sqrt{3}\cot A,b=\sqrt{3}\cot B,c=\sqrt{3}\cot C,$其中$A,B,C\in (0,\frac{\pi}{2})$
那么$$\sqrt{a^2+3}-a=\sqrt{3}\tan\dfrac{A}{2},$$
于是只需证明$$\sum{\tan\dfrac{A}{2}}\geqslant \sqrt{3}$$
这是显然的!
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