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[函数] 来自某广东高中教师群的“保序同构”

广州蓝老师(2140*****)  23:26:45
QQ截图20130825000742.png
2013-8-25 00:09

广州蓝老师(2140*****)  23:28:05
此题有什么解法?
河源  刘老师(2913*****)  23:28:52
D?
广州kuing  23:50:27
显然是D啊
广州kuing  23:57:27
假设 Z 与 Q 中存在满足题意的 f,设 f(x)=q1, f(x+1)=q2,x in Z, q1,q2 in Q,依题意必有 q1<q2 ,现在考虑有理数 (q1+q2)/2 的原象 y,因为 q1<(q1+q2)/2<q2,则必有 x<y<x+1,显然不可能。


图有点小,显示得不够清楚,而且选项 A 还打错了个符号,这里我重新用 $\LaTeX$ 输入一下题目和我的解答。

1.(2013 福建,10,5 分)设 $S$, $T$ 是 $\mbb R$ 的两个非空子集,如果存在一个从 $S$ 到 $T$ 的函数 $y=f(x)$ 满足:(i)$T=\{f(x)\mathrel|x\in S\}$;(ii)对任意 $x_1$, $x_2\in S$,当 $x_1<x_2$ 时,恒有 $f(x_1)<f(x_2)$,那么称这两个集合“保序同构”。以下集合对不是“保序同构”的是(   )

A. $A=\mbb N^+$, $B=\mbb N$
B. $A=\{x\mathrel|-1\leqslant x\leqslant 3\}$, $B=\{x\mathrel|x=-8~\text{或}~0<x\leqslant 10\}$
C. $A=\{x\mathrel|0<x<1\}$, $B=\mbb R$
D. $A=\mbb Z$, $B=\mbb Q$

解:假设 $\mbb Z$ 与 $\mbb Q$ 中存在满足题意的 $f$,设 $f(x)=q_1$, $f(x+1)=q_2$, $x \in \mbb Z$, $q_1$, $q_2 \in\mbb Q$,依题意必有 $q_1<q_2$,现在考虑有理数 $(q_1+q_2)/2$ 的原象 $y$,因为 $q_1<(q_1+q_2)/2<q_2$,则必有 $x<y<x+1$,显然不可能。
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NB

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原来前些天就出现过了
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=65
看来我当时自动把楼主的题略过了……
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