[几何] 一个向量题

转化与化归

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2013-12-8 15:51

isee

这题估计没人理的

参考 旧版论坛 http://kkkkuingggg.haotui.com/viewthread.php?tid=1593

第12楼，应该是是从三角推到四边形，甚至更多边形亦可

原12楼方法很多，不过，有面积嘛，最直接的是上向量叉积

转化与化归

回复 2# isee
三角形是很常见的，四边形的不常见，结论应该是不成立的！

isee

这题有没有标准答案？没有过程也可以

其妙

应该推广到空间，并且用体积比，而不是面积比。
上述a、b、c、d并不唯一吧，

isee

先说下基本想法，如下 。

先将考虑点$O$在凸四边形$ABCD$内的情况，将$A,B,C,D$按逆时针排列，且将$AB$线段水平放置，$A$在$B$左边。
这里约定垂直于纸面（或者你现在看到电脑屏幕）向外的为正方向；
且记$\vv {OA}=\vv a,\vv {OB}= \vv b,\cdots,\vv {OD}=\vv d;2S_{\triangle ABO}=S_1,2S_{\triangle BCO}=S_2,\cdots,2S_{\triangle DAO}=S_4$。
于是，由重心容易确定 $a\vv a +b\vv b +c\vv c +d\vv d=\vv 0$是成立的。
移项即有
\begin{align*}
a\vv a +c\vv c&=-b\vv b-d\vv b\\
(a\vv a +c\vv c)\times (b\vv b+d\vv d)&=0\\
ab\vv a \times \vv b+ad\vv a \times \vv d+cb\vv c \times \vv b +cd \vv c \times \vv d&=0\\
abS_1+ad(-S_4)+cb(-S_2)+cdS_3&=0
\end{align*}
即\[ abS_1-bcS_2+cdS_3-adS_4=0\tag{01}\label{eq01} \]

类似的，由$(a\vv a+b \vv b)\times (c\vv c+d\vv d)=0,(a\vv a + d\vv d)\times (b\vv b +c\vv c)=0$，
两式展开，联立，消$S_{\triangle CAO},S_{\triangle BDO}$，整理有

\[ abS_1+bcS_2-cdS_3-adS_4=0\tag{02}\label{eq02} \]

isee

由\eqref{eq01},\eqref{eq02}只能得到

\[\dfrac {S_1}{S_4}=\dfrac db=\dfrac {S_2}{S_3}\]

与主楼的要求还差一步，或者说上面解法中哪里有问题，或者还有未发现的应用条件转化？

其妙

萧山-何易阳(546………) 2013-12-22 11:47:54

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2013-12-22 12:53

没看，请研究一下

isee

需要继续学习，求助，如果楼上是正确的，那6楼7楼哪里出错了呢？

其妙

最近只做一眼就能看的出方法或结果的题目，或者是曾经做过的类似题，

kuing

回复 9# isee

你的式(02)错；他的只做了正方形的情形，换一个就不一样了，所以约等于没做。

事实上这题应该是有问题的，假设题目没问题，那么当 $a$, $b$, $c$, $d$ 取定时，答案应当也是个确定的值，但是如果取 $a=b=c=d=1$，那么当 $ABCD$ 和 $O$ 为这样的图形：

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2013-12-23 19:25

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2013-12-23 19:23

$OC$ 的长度由左边的角度确定，总能使之满足条件，此时 $S$ 之间的比显然不能完全确定。

isee

回复 11# kuing


THX！

收到，一会查查。

其妙

应该推广到空间，并且用体积比，而不是面积比。
上述a、b、c、d并不唯一吧， ...
其妙 发表于 2013-12-16 13:30