回复 7# 史嘉
设$P(x,y),Q(-x,-y)$,则$y^2-x^2=1$,折叠后,用两次勾股定理(即求长方体的体对角线当然要用两次勾股定理哦)得:
$|PQ|^2=d^2+\left[d^2+\left(2\sqrt{x^2+y^2-d^2}\right)^2\right]=4x^2+4y^2-(y+x)^2=3x^2+3y^2-2xy\geqslant2\sqrt2(y^2-x^2)=2\sqrt2$,
(上面对$-2xy$使用了待定系数法放缩,还有其他方法,例如柯西不等式,略),其中$d=\dfrac{|x+y|}{\sqrt2}$表示点$P(x,y)$到直线$x+y=0$的距离,
故$|PQ|\geqslant\sqrt[4]8$. |