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[数列] 数列 $a_1=a_2=1,a_n=\frac{a^2_{n-1}+2}{a_{n-2}}$

本帖最后由 isee 于 2013-8-22 00:15 编辑

提问

已知$a_1=a_2=1,a_n=\dfrac{a^2_{n-1}+2}{a_{n-2}}(n \geqslant 3)$。
证明:数列$\{a_n\}$中的一切项都是整数。
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这题居然会做。。
方法先猜后证。
计算出数列前几项:1,1,3,11,41,153,……
猜测$\{a_n\}$有递推式:$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$
当$n=1,2$时有
$3=p+q$
$11=3p+q$
解得:$p=4,q=-1$
因此应该有:$a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$
下面再使用数归证明即可。
最后易说明数列各项均是整数.

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回复 2# Tesla35

居然能求通项这么牛笔……
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有人愿意具体数归一下么?

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和东南题目有联系

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回复 5# 其妙

give a link……
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回复 2# Tesla35
灰常的漂亮!我想过用数论去弄,但杯具了…学习了,增见识了…
回复 4# isee
这个归纳很简单的咧
睡自己的觉,让别人说去...

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QQ图片20130822183034.jpg
2013-8-22 18:34

东南的那道题比这个要难
证明平方数的
方法和这个类似吧

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回复 8# nash

你这么一写我又感觉好像在哪见过……
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再贴一题,2013年中科大数学夏令营

数列$\{a_n\}$的定义是:$a_1=1,a_2=1,a_3=2,a_{n+3}=\frac{a_{n+1}a_{n+2}+7}{a_n},n>0$.证明:该数列中的项都是正整数.
PS:猜测肯定可以写成线性的

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回复 10# Tesla35


    还是用皮蛋老师的方法:

$\begin{array}{l}
a_{n + 3} a_n  = a_{n + 1} a_{n + 2}  + 7 \\
a_{n + 2} a_{n - 1}  = a_n a_{n + 1}  + 7 \\
a_{n + 3} a_n  - a_{n + 2} a_{n - 1}  = a_{n + 1} a_{n + 2}  - a_n a_{n + 1}  \\
a_n (a_{n + 3}  + a_{n + 1} ) = a_{n + 2} (a_{n + 1}  + a_{n - 1} ) \\
\end{array}$

n为偶数时,$\frac{{a_{n + 3}  + a_{n + 1} }}{{a_{n + 2} }} = \frac{a_3  + a_1 }{a_2 } = 3$
n为奇数时,$\frac{{a_{n + 3}  + a_{n + 1} }}{{a_{n + 2} }} = \frac{a_4  + a_2 }{a_3 } = 5$

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回复 11# 地狱的死灵


    为何叫皮蛋?

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东南的那道题比这个要难
证明平方数的
方法和这个类似吧
nash 发表于 2013-8-22 18:35



向诸位学习了。

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回复  其妙

give a link……
kuing 发表于 2013-8-22 16:41

博客图片.jpg
2013-8-23 17:15

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回复 14# 其妙

thank you
第一题还是前两天发过的呢
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回复 15# kuing
再来个第二天的
都没的答案的,郁闷
博客图片.jpg
2013-8-23 22:52

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