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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 发个对你们来说很水的水题
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发表于 2013-8-21 23:27
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[不等式]
发个对你们来说很水的水题
来自不等式群的题~
2013-8-21 23:24
我的烂思路:
2013-8-21 23:24
后面的杯具了...
放缩?切线?还是...
各位大神,快来秒吧!!!
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睡自己的觉,让别人说去...
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发表于 2013-8-21 23:39
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发表于 2013-8-21 23:40
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自己做不出然后又断言水题……啥逻辑……
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发表于 2013-8-22 00:14
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kuing
木系写着对你们来说么…对俺来说就…
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发表于 2013-8-22 00:18
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不会做就无法判断深浅,不论是对谁……
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发表于 2013-8-22 16:18
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先证明对任意 $n\in\mbb N^+$ 有
\[\frac{2^n-1}{3^n-2^n}\leqslant \left( \frac23 \right)^{n-1},\]
上式去分母整理等价于
\[ 6^n+2\cdot 3^n\geqslant 3\cdot 4^n,\]
由琴生不等式或加权幂平均不等式,有
\[\frac13\cdot 6^n+\frac23\cdot 3^n\geqslant \left( \frac13\cdot 6+\frac23\cdot 3 \right)^n=4^n,\]
即成立,故
\[\sum_{k=1}^n\frac{2^k-1}{3^k-2^k}\leqslant \sum_{k=1}^n\left( \frac23 \right)^{k-1}=3-3\cdot \left( \frac23 \right)^n,\]
易证对任意 $n\in\mbb N^+$ 有
\[4-\frac3n\geqslant 3-3\cdot \left( \frac23 \right)^n,\]
故原不等式得证。
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发表于 2013-8-22 17:15
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NB!哎…我又放缩错方向了…
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发表于 2013-8-22 17:18
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你想证的那个应该也是成立的,不过不太好证……
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令$f(x) = x^n ,g(x) = (x + 1)^n ,x \in [1,2]$
由柯西中值定理,存在$x_0 \in (1,2)$使得
$(\frac23)^{n-1} \ge \frac{nx_0^{n - 1} }{n(x_0 + 1)^{n - 1} } = \frac{f'(x_0 )}{g'(x_0 )} = \frac{f(2) - f(1)}{g(2) - g(1)} = \frac{2^n - 1}{3^n - 2^n }$
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用几何画板验证是成立的,求证
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地狱的死灵
圆奶乳齿,好证法
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发表于 2013-8-22 20:37
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这样看来,此题不简单啊
地狱的死灵 向来犀利
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发表于 2013-8-22 21:51
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isee
嗯嗯,严重同意!你们一向以来都不是一般的NB
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犀利死灵!
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