[不等式] 发个对你们来说很水的水题

零定义

来自不等式群的题~

2013-8-21 23:24

我的烂思路：

2013-8-21 23:24

后面的杯具了...
放缩？切线？还是...
各位大神，快来秒吧！！！

第一章

对应项？

kuing

自己做不出然后又断言水题……啥逻辑……

零定义

回复 3# kuing
木系写着对你们来说么…对俺来说就…

kuing

回复 4# 零定义
不会做就无法判断深浅，不论是对谁……

kuing

先证明对任意 $n\in\mbb N^+$ 有
\[\frac{2^n-1}{3^n-2^n}\leqslant \left( \frac23 \right)^{n-1},\]
上式去分母整理等价于
\[ 6^n+2\cdot 3^n\geqslant 3\cdot 4^n,\]
由琴生不等式或加权幂平均不等式，有
\[\frac13\cdot 6^n+\frac23\cdot 3^n\geqslant \left( \frac13\cdot 6+\frac23\cdot 3 \right)^n=4^n,\]
即成立，故
\[\sum_{k=1}^n\frac{2^k-1}{3^k-2^k}\leqslant \sum_{k=1}^n\left( \frac23 \right)^{k-1}=3-3\cdot \left( \frac23 \right)^n,\]
易证对任意 $n\in\mbb N^+$ 有
\[4-\frac3n\geqslant 3-3\cdot \left( \frac23 \right)^n,\]
故原不等式得证。

零定义

回复 6# kuing
NB！哎…我又放缩错方向了…

kuing

回复 7# 零定义

你想证的那个应该也是成立的，不过不太好证……

地狱的死灵

回复 6# kuing



    令$f(x) = x^n ,g(x) = (x + 1)^n ,x \in [1,2]$
由柯西中值定理，存在$x_0  \in (1,2)$使得
$(\frac23)^{n-1}  \ge \frac{nx_0^{n - 1} }{n(x_0  + 1)^{n - 1} } = \frac{f'(x_0 )}{g'(x_0 )} = \frac{f(2) - f(1)}{g(2) - g(1)} = \frac{2^n  - 1}{3^n  - 2^n }$

零定义

回复 8# kuing
用几何画板验证是成立的，求证

kuing

回复 9# 地狱的死灵

圆奶乳齿，好证法

isee

这样看来，此题不简单啊

地狱的死灵 向来犀利

零定义

回复 12# isee
嗯嗯，严重同意！你们一向以来都不是一般的NB

其妙

犀利死灵！