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[几何] 一道在圆某个性质上的推广的题目

圆的任意一条弦被与其垂直的直径平分。
是否存在过一定点,作曲线任意一条弦的垂线,将弦分为两段,其长度比例恒为定值的曲线。
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只有圆弧这种曲线满足要求,道理很简单:
假设曲线 `\Gamma` 满足条件,对应的定点是 `O`,比例是 `t`,在 `\Gamma` 上取弦 `AB`,在弦上取 `C` 使之分弦成比例 `t`。
现在固定 `A`,运动 `B`,则 `C` 的轨迹是一条与 `\Gamma` 相似的曲线 `\Gamma'`,依题意,`\Gamma'` 上的点 `C` 均满足 `OC\perp CA`,可见 `\Gamma'` 必定是圆弧,从而 `\Gamma` 也是圆弧。

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