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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 2n+1个数,任意2n个可分为两组,每组n个且和相等,求证全相等
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kuing
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发表于 2013-11-26 18:55
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2n+1个数,任意2n个可分为两组,每组n个且和相等,求证全相等
现有 2n+1 个数,它们任意 2n 个数可分为两组,每组 n 个且和相等,求证:这 2n+1 个数都相等。
表示不会,你们上……
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wenshengli
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发表于 2013-11-26 20:15
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2009清华大学自主招生试题
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kuing
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发表于 2013-11-26 20:19
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wenshengli
出处党牛笔……thx
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发表于 2013-11-26 20:24
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wenshengli
百度了一下“2009清华大学自主招生试题”并没看到这题……
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wzxsjz
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发表于 2013-11-27 08:13
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清华是2n+1个整数
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wenshengli
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发表于 2013-11-27 16:06
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kuing
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发表于 2013-11-27 16:07
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kuing
版主看到的可能是文科的题,这个是理科的第七题。
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wzxsjz
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发表于 2013-11-27 17:48
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开眼了,这是我很长时间所求,谢谢wenshengli老师
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爪机专用
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发表于 2013-11-27 18:15
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wenshengli
这个证明不正确吧,两个大B不等推不出矛盾。
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realnumber
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发表于 2013-11-28 08:43
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本帖最后由 realnumber 于 2013-11-28 20:00 编辑
1.因为2n个数的和为偶数,2n+1个数要么都为奇数,要么都为偶数.否则,2n+1个中取出一个奇数余下的数和为偶数,这2n+1个数的和为奇数;取出一个偶数,余下2n个数和为偶数,这2n+1个数的和为偶数,矛盾.
2.若都为偶数,则每个数都除以2;若每个数都是奇数,则加1后变成偶数,再除以2,
这样得到的2n+1个数依然符合这个要求“任意2n个可分为两组,每组n个且和相等”,
3.不断重复步骤2.直至这些的数都为1,( x+1=2x,x=1),这些数都相等,说明原2n+1个数均相等,完毕.
-----
把他们当整数了,好象也有些用,就不删了.
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wzxsjz
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发表于 2013-11-28 11:52
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9#正确
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发表于 2013-11-30 12:43
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本帖最后由 realnumber 于 2014-3-1 00:15 编辑
设2n+1个数中,最小的为a,最大的为b,假设a<b
那么每个数都减a,再每个数都除以b-a,此时得到2n+1个数,最小为0,最大为1,都至少一个,且依然符合“任意2n个可分为两组,每组n个且和相等”.
由题意,可看作2n+1-2个未知数的2n+1个方程的方程组,因为系数是1或-1,所以这个方程组的解若不存在,说明假设a<b错误,若存在,则有有理数解,取其中一组有理数解(就逐个消元,总是有理数系数和有理数常数项,有无数组解的情景也包括在内.),
依次是$x_1=0,x_2=\frac{q_2}{p_2},...x_{2n}=\frac{q_{2n}}{p_{2n}},x_{2n+1}=1$,(其中$p_i,i=2,3,...2n$是整数)每个数都乘以$p_2p_3...p_{2n}$,转化为整数,且依然符合“任意2n个可分为两组,每组n个且和相等”.再按10楼整数情景处理.完.
--觉得应该没问题了~~
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realnumber
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发表于 2013-12-2 14:27
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6楼错误了吧,
11楼是肯定6楼正确,还是肯定9楼正确?
--10#,12#解得有漏洞吗?
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