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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 来自人教群的一道关于$\sum a^2/b$的不等式
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发表于 2013-8-14 01:36
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[不等式]
来自人教群的一道关于$\sum a^2/b$的不等式
2013-8-14 01:27
下午看了又看都没什么好想法,直到刚才试一下 SOS 居然可以,但是后面bào力了……
原不等式等价于
\begin{align*}
&\sum\frac{a^2}b\geqslant \frac{3(a^3+b^3+c^3)}{a^2+b^2+c^2} \\
\iff{}& \sum\left( \frac{a^2}b-2a+b \right)\geqslant \frac{3(a^3+b^3+c^3)-(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{a^2+b^2+c^2} \\
\iff{}& \sum\frac{(a-b)^2}b\geqslant \frac{\sum(a+b)(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2} \\
\iff{}& \sum\left( \frac1b-\frac{a+b}{a^2+b^2+c^2} \right)(a-b)^2\geqslant 0 \\
\iff{}& \sum\left( \frac{c^2+a^2}b-a \right)(a-b)^2\geqslant 0,
\end{align*}
记
\[S_c=\frac{c^2+a^2}b-a,S_a=\frac{a^2+b^2}c-b,S_b=\frac{b^2+c^2}a-c,\]
则由柯西或均值易得
\[
S_a+S_b+S_c=\frac{b^2+c^2}a+\frac{c^2+a^2}b+\frac{a^2+b^2}c-a-b-c\geqslant a+b+c>0,
\]
由bào力通分配方可得
\[
S_aS_b+S_bS_c+S_cS_a=\frac{\sum a^3(a-b)^2+\sum a(a^2-2bc)^2+\sum a^3b^2}{2abc}>0,
\]
于是由 SOS 定理知 $\sum S_c(a-b)^2\geqslant 0$ 成立,故原不等式得证。
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发表于 2013-8-15 00:14
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又被加强了
2013-8-15 00:12
有根号了,直接 SOS 难用了,平方后次数高项多也不好弄,先放这里,有空再慢慢研究研究……
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发表于 2013-8-15 07:58
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$$ \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq\frac{37(a^2+b^2+c^2)-19(ab+ac+bc)}{6(a+b+c)} $$貌似还有这个。。。。
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爪机专用
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发表于 2013-8-15 09:45
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pxchg1200
以上这些不等式都出自哪里呢?
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发表于 2013-8-15 09:49
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Art of Problem solving。。。。
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发表于 2013-8-15 12:15
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本帖最后由 爪机专用 于 2013-8-15 12:27 编辑
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pxchg1200
我想知道具体是哪个人提出的,有帖子链接更好。
因为太久没上mathlinks,这些资讯我了解太少了,跟不上了已经。
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发表于 2013-8-16 08:09
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爪机专用
http://www.artofproblemsolving.c ... p?f=52&t=548510
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发表于 2013-8-16 11:21
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pxchg1200
原来是arqady……
看来也是用了类似之前扯过那种的狠招……
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发表于 2013-8-16 11:45
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刚才群里天书提到这个:
2013-8-16 11:44
这个弱于2#,可以用holder证,见《Secrets in Inequalities (volume 1)》P205
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