[不等式] 有一个问题想不出

abc

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2013-8-13 13:55

kuing

设 $x\geqslant y\geqslant 0$，则

（1）若 $p\geqslant 2$，则
\[2(x^p+y^p)\leqslant (x+y)^p+(x-y)^p;\]

（2）若 $0<p<2$，则
\[2(x^p+y^p)\geqslant (x+y)^p+(x-y)^p.\]

证：令
\[f(y)=(x+y)^p+(x-y)^p-2(x^p+y^p),\]
求导得
\begin{align*}
f'(y)&=p\bigl((x+y)^{p-1}-(x-y)^{p-1}-2y^{p-1}\bigr) \\
& =py^{p-1}\left( \left( \frac xy+1 \right)^{p-1}-\left( \frac xy-1 \right)^{p-1}-2 \right),
\end{align*}

令 $x=ty$，则 $t\geqslant 1$，令
\[g(t)=(t+1)^{p-1}-(t-1)^{p-1}-2,\]
求导得
\[g'(t)=(p-1)\bigl((t+1)^{p-2}-(t-1)^{p-2}\bigr).\]

若 $p\geqslant 2$，则
\[g'(t)\geqslant 0\riff g(t)\geqslant g(1)=2^{p-1}-2\geqslant 0\riff f'(y)\geqslant 0\riff f(y)\geqslant f(0)=0;\]

若 $1\leqslant p<2$，则
\[g'(t)\leqslant 0\riff g(t)\leqslant g(1)=2^{p-1}-2\leqslant 0\riff f'(y)\leqslant 0\riff f(y)\leqslant f(0)=0;\]

若 $0<p<1$，则
\[g(t)<-2<0\riff f'(y)<0\riff f(y)\leqslant f(0)=0.\]

综上，得证。


回到一楼的题目，将上面的 $x$, $y$ 换成 $(1+x)/2$, $(1-x)/2$ 即可。