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[函数] 转一个求函数$y = \sqrt{x + 27} + \sqrt{13 - x} + \sqrt{x}$最值

本帖最后由 hongxian 于 2013-8-11 17:57 编辑

求函数$y = \sqrt{x + 27}  + \sqrt{13 - x}  + \sqrt{x}$最大值和最小值



来自:http://www.aoshoo.com/bbs1/dispbbs.asp?boardid=71&Id=25057
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本帖最后由 琉璃幻 于 2013-8-11 21:00 编辑

当X=0时取最小. 最大值科西不等(jie)式(shi)。 最小值嘛。。。。
\[\sqrt{x}+\sqrt{13-x}+\sqrt{x+27}\geqslant\sqrt{x+13-x}+\sqrt{x+27}=\sqrt{13}+\sqrt{27+x}\geqslant\sqrt{13}+\sqrt{27}\]

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回复 3# 琉璃幻

好像第一次见幻幻解题……厉害耶
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回复 4# kuing


   主要在贴吧活动

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回复 5# 琉璃幻
哪个贴吧?用户名?
常来本论坛哦

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回复 3# 琉璃幻


    牛,09年全国联赛一试11题就这样被秒了

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幻幻最小值,我来最大值:
$x+9\geqslant6\sqrt x\Longrightarrow\sqrt x\leqslant\dfrac{x+9}6\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots(1)$,
$x+27+36\geqslant12\sqrt{x+27}\Longrightarrow\sqrt {x+27}\leqslant\dfrac{x+63}{12}\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots(2)$,
$13-x+4\geqslant4\sqrt{13-x}\Longrightarrow\sqrt {13-x}\leqslant\dfrac{17-x}{4}\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots(3)$
(1)+(2)+(3)得,$y=\sqrt x+\sqrt {x+27}+\sqrt {13-x}\leqslant\dfrac{x+9}6+\dfrac{x+63}{12}+\dfrac{17-x}{4}=11$,取等号略。

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赶脚像切线?

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本帖最后由 第一章 于 2013-9-10 21:58 编辑

其妙真的很奇妙,从没想过这种题可以这样处理……
写个类似的,求$y=2x-\sqrt{x-1}$的最小值:
$x-1+\frac{1}{16}\ge \frac{1}{2}\sqrt{x-1}$,
$\sqrt{x-1}\le2x-\frac{8}{15}$
于是$y=2x-\sqrt{x-1}\ge\frac{8}{15}$.

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回复 10# 第一章


    就觉得昨晚少了一个2,早上一看,你改过来了

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3楼这么解,没见过,威武~~~~
8楼也不错

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幻幻给出了一种最小值的求法,下面再来一种最小值的求法:
显然函数$y=\sqrt x+\sqrt {x+27}+\sqrt {13-x}$的定义域是[0,13],故$\sqrt x\geqslant\dfrac x{\sqrt{13}}\Longleftrightarrow13x\geqslant x^2\Longleftrightarrow 0\leqslant x \leqslant 13$,

$\sqrt{13-x}\geqslant\sqrt{13}-\dfrac x{\sqrt{13}}\Longleftrightarrow\sqrt{13(13-x)}\geqslant 13-x\Longleftrightarrow13(13-x)\geqslant(13-x)^2  \Longleftrightarrow 0\leqslant x\leqslant 13$,

以上两式相加得,$\sqrt x+\sqrt {13-x}\geqslant\dfrac x{\sqrt{13}}+\sqrt{13}-\dfrac x{\sqrt{13}}=\sqrt{13}$,

于是,$y=\sqrt x+\sqrt {13-x}+\sqrt {x+27}\geqslant\sqrt{13}+\sqrt {x+27}\geqslant\sqrt{13}+\sqrt {27}$,取等号略。

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回复 13# 其妙


    牛

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