[不等式] 一道较难三角最值问题

nash

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2014-10-17 12:00

kuing

先顶一下，暂时没想到简单证法，只想到bao力 sRr 可以解决……

kuing

分类、角变换、切线法……总算证到并且运算量不算大，希望没错……

题目：已知 $A+B+C=\pi$, $A$, $B$, $C>0$，求
\[\left( 2\sin^2A+\frac1{\sin^2A} \right)\left( 2\sin^2B+\frac1{\sin^2B} \right)\left( 2\sin^2C+\frac1{\sin^2C} \right)\]
的最小值。


解：当 $A=B=C=\pi/3$ 时原式的值为 $(17/6)^3$，下面证明它就是所求的最小值，即要证明
\[\prod\left( 2\sin^2A+\frac1{\sin^2A} \right) \geqslant \left(\frac{17}6\right)^3.\]

由条件知 $A$, $B$, $C$ 可构成三角形的三个内角。

（1）若三角形为非锐角三角形，由对称性不妨设 $A\geqslant \pi/2$，则
\[\sin B\sin C=\frac{\cos (B-C)-\cos (B+C)}2\leqslant \frac{1+\cos A}2\leqslant \frac12,\]
故由柯西不等式及 $2x+1/x$ 的单调性知
\[\left( 2\sin^2B+\frac1{\sin^2B} \right)\left( 2\sin^2C+\frac1{\sin^2C} \right)\geqslant \left( 2\sin B\sin C+\frac1{\sin B\sin C} \right)^2\geqslant 9,\]
所以
\[\prod\left( 2\sin^2A+\frac1{\sin^2A} \right) \geqslant 9\left( 2\sin^2A+\frac1{\sin^2A} \right)\geqslant 18\sqrt2>\left( \frac{17}6 \right)^3;\]

（2）若三角形为锐角三角形，设 $D=\pi-2A$, $E=\pi-2B$, $F=\pi-2C$，那么 $D$, $E$, $F\in (0,\pi)$ 且 $D+E+F=\pi$，故此 $D$, $E$, $F$ 可构成三角形的三个内角，此时
\[\sin^2A=\sin^2\frac{\pi-D}2=\cos^2\frac D2=\frac{1+\cos D}2,\]
故待证的不等式等价于
\[\prod\left( 1+\cos D+\frac2{1+\cos D} \right)\geqslant \left( \frac{17}6 \right)^3,\]
下面证明当 $x\in(-1,1)$ 时恒有
\[\ln \left( 1+x+\frac2{1+x} \right)\geqslant \frac2{51}\left( x^2-\frac14 \right)+\ln \frac{17}6,\]
令
\[f(x)=\ln \left( 1+x+\frac2{1+x} \right)-\frac2{51}\left( x^2-\frac14 \right)-\ln \frac{17}6,\]
求导得
\[f'(x)=\frac{1-\frac2{(1+x)^2}}{1+x+\frac2{1+x}}-\frac4{51}x
=\frac{(2x-1)(51+12x-7x^2-2x^3)}{51(x+1)(x^2+2x+3)},\]
当 $x\in(-1,1)$ 时显然有 $51+12x-7x^2-2x^3>0$, $(x+1)(x^2+2x+3)>0$，故 $f(x)$ 在 $(-1,1/2)$ 内递减，在 $(1/2,1)$ 内递增，而 $f(1/2)=0$，所以对于 $x\in(-1,1)$ 恒有 $f(x)\geqslant 0$。

由此，我们有
\[\sum\ln \left( 1+\cos D+\frac2{1+\cos D} \right)\geqslant \frac2{51}\left( \cos^2D+\cos^2E+\cos^2F-\frac34 \right)+3\ln \frac{17}6,\]
又由三角恒等式及均值不等式有
\begin{align*}
1&=\cos^2D+\cos^2E+\cos^2F+2\cos D\cos E\cos F \\
& \leqslant \cos^2D+\cos^2E+\cos^2F+2\sqrt{\left( \frac{\cos^2D+\cos^2E+\cos^2F}3 \right)^3},
\end{align*}
解得
\[\cos^2D+\cos^2E+\cos^2F\geqslant \frac34,\]
所以我们得到
\[\sum\ln \left( 1+\cos D+\frac2{1+\cos D} \right)\geqslant 3\ln \frac{17}6,\]
亦即
\[\prod\left( 1+\cos D+\frac2{1+\cos D} \right)\geqslant \left( \frac{17}6 \right)^3.\]

综上所述，原式的最小值就是 $(17/6)^3$。

小芳

这就是传说中的高考吗？

kuing

回复 4# 小芳

高考不会玩这种东西（08江西除外），放竞赛题可能也能拦倒不少竞赛党

小芳

回复 5# kuing


那还搞什么竞赛。

kuing

当然，也有可能只是我没发现简便解法而已……

其妙

楼主是三元的，这里有四元的：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_3e2913e90102v8ci.html

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2014-10-19 13:28

kuing

回复 8# 其妙

四元就变成入门级别的题了。
三元这样做就会过头，所以才变难了。
所以并不是元多就一定更难，有时反而简单。

其妙

回复 9# kuing
哦，没仔细看

kuing

回复 10# 其妙

你可以自己试试看的。

其妙

回复 11# kuing
时间不太够了，也没精力，也被吓住了，还有现在主要是浏览和阅读，

kuing

回复 12# 其妙

试试又不用两分钟，三元的时候 $t=\sqrt[3]{\sin^2A\sin^2B\sin^2C}\leqslant 3/4$，然后如果用 $P\geqslant (2t+1/t)^3$，但是 $2t+1/t$ 在 $(0,3/4]$ 先减后增，这样就过了。

nash

顶一个
这个三角的题是河南孙老师发的

kuing

回复 14# nash

我的解法有问题不？还有没有其他解法？

nash

回复 15# kuing


   我显然不会做这个题…还是等他过来问问吧，貌似他说也没有解答

nash

我做过你13楼的那个方法，当时脑袋一热以为凑好的最值没问题就发过去了……

kuing

回复 17# nash

第一反应显然都会想到13楼的方向，但一看单调性后就会知道不可行……

957683999

切线法用二次曲线y=Ax^2+B(A>0)托起对数型曲线，除了过点（1/2,ln(17/6)外，另一个点如何选取，用点（1,ln3)如何？

kuing

回复 19# 957683999

没懂你的意思。

另外，这里也顺便回答一下你昨晚给我发的短消息里的问题：

957683999 2014-10-28 22:50
坛主：已知 A+B+C=π, A, B, C>0，求
(2sin2A+1sin2A)(2sin2B+1sin2B)(2sin2C+1sin2C)

的最小值。----本题是我在研究四元时的解答时类比提出的，放在群里征解！非常感谢你的聪明和睿智！，能否把你的思考过程即破解的心路历程予以分享！我的QQ957683999.

最开始想当然就是13楼的方向，随即发现不可行；转而切线法，仍然不可行；于是考虑内切圆代换、切系统、sRr等，都不好算；为了降次，考虑分类再用角变换，变换后再重复类似上述的思考，结果在切线法中搞定，完。