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标题: [几何] 来自网友的向量 |a|=4,|b|=2|c|,(a-c)(b-c)=3 求 |a-b| 最小 [打印本页]

作者: kuing    时间: 2020-10-19 03:10     标题: 来自网友的向量 |a|=4,|b|=2|c|,(a-c)(b-c)=3 求 |a-b| 最小

Joseph 2020/10/18 11:21:33
QQ图片20201019030005.png
2020-10-19 03:00

这个问题有简单方法吗?
搞了半天才弄出个装逼解法如下:

因为
\[(\bm a-\bm b)^2=\frac23(\bm a^2+\bm b^2-4\bm c^2)-\frac83(\bm a-\bm c)\cdot(\bm b-\bm c)+\frac13(\bm a+\bm b-4\bm c)^2,\] 代入条件化简得
\[(\bm a-\bm b)^2=\frac83+\frac13(\bm a+\bm b-4\bm c)^2\geqslant\frac83,\]时间关系取等暂略……

图片附件: QQ图片20201019030005.png (2020-10-19 03:00, 2.72 KB) / 下载次数 3519
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=9159&k=b40cd77be7463293be5a5a2ee29cae13&t=1711700826&sid=z66EaZ


作者: kuing    时间: 2020-10-20 15:53

差点又忘了补充取等:
\[\bm a=(4,0),\,\bm b=\left( \frac72,\frac12\sqrt{\frac{29}3} \right),\,\bm c=\left( \frac{15}8,\frac18\sqrt{\frac{29}3} \right).\]
作者: 走走看看    时间: 2020-10-22 17:43

$a^2-2ab+b^2=(a-c)^2+(b-c)^2-2(a-c)(b-c)$

$现在只要使(a-c)^2+(b-c)^2最大就可以了。$

做得到吗?
作者: isee    时间: 2020-10-22 19:10

搞了半天才弄出个装逼解法如下:

因为
\[(\bm a-\bm b)^2=\frac23(\bm a^2+\bm b^2-4\bm c^2)-\fra ...
kuing 发表于 2020-10-19 03:10


这个还真难算(我算不下去),如果引用三角的话。。

不过,取$\bm a=(4,0),\bm b=(2,0),\bm c=(1,0)$满足条件,此时$\bm a-\bm b=(2,0)$,这个模不是更小?或者说这特殊值哪里出问题了?
作者: 色k    时间: 2020-10-22 19:30

回复 4# isee

我算的是平方……
作者: isee    时间: 2020-10-22 20:13

回复 5# 色k


原来如此!
作者: 走走看看    时间: 2020-10-22 22:11

本帖最后由 走走看看 于 2020-10-22 22:13 编辑

回复 4# isee

$2比\sqrt{\frac{8}{3}}大一点。$
作者: hejoseph    时间: 2020-10-23 11:09

这个题目我没见到有简单的方法,作为填空题,要么是出题人自己用的方法有错误,也或者确实我们还没找到简单的方法。
作者: 其妙    时间: 2021-3-9 13:08

我喜欢这个装逼界法
作者: 敬畏数学    时间: 2021-3-10 11:25

此题是否有简单的填空题做法???同问???
作者: 12673zf    时间: 2021-3-10 21:31

在”数海漫游“公众号看到的解析
屏幕截图 2021-03-10 213047.jpg
2021-3-11 00:41


图片附件: 屏幕截图 2021-03-10 213047.jpg (2021-3-11 00:41, 52.52 KB) / 下载次数 3297
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=9492&k=754552ae60ea40631664a0a4cf67559d&t=1711700826&sid=z66EaZ


作者: 敬畏数学    时间: 2021-3-11 09:12

回复 11# 12673zf

作者: 其妙    时间: 2021-3-11 20:12

怎么回事啊?答案不一样?
作者: kuing    时间: 2021-3-11 20:20

回复 13# 其妙

一样啊,我算的是 |a-b|^2,开根就一样了。
至于推理上有没有问题,我还没精神看……
作者: 其妙    时间: 2021-3-11 20:23

只看最后的数据
作者: isee    时间: 2021-3-16 19:32

怎么回事啊?答案不一样?
其妙 发表于 2021-3-11 20:12


哈哈,你和我当时一样~




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