$ \triangle ABC $,$ D $为$ AB $上一点,$ AD $的垂直平分线交$ AC $于$ E $,$ DB $的垂直平分线交$ BC $于$ F $,$ G、H、P、Q $分别为$ AD、DB、AC、BC $的中点,$ O $为$ \triangle ABC $外接圆圆心,$ K $为$ EF $与$ PQ $的交点。则有:(1)$ OK\perp EF $且$ EOFC $四点共园(2)$ DE\px HK $
过E作$EK\parallel HC$交BC于K,则$\frac{TH}{HE}=\frac{DC}{CK}=\frac{EC}{CK}=\frac{\sin\angle EKC}{\sin\angle CEK}=\frac{\sin\angle BCH}{\sin\angle HCA}$
同理$\frac{FH}{HS}=\frac{\sin\angle ABH}{\sin\angle HBC}$
又对$\angle ABC$及点H用角元塞瓦定理得$\frac{\sin \angle B C H}{\sin \angle H C A} \cdot \frac{\sin \angle C A H}{\sin \angle H A B}, \frac{\sin \angle A B H}{\sin \angle H B C}=1$于是$\frac{S_{\triangle A T H}}{S_{\triangle A S H}} =\frac{S_{\triangle A T H}}{S_{\triangle A E H}} \cdot \frac{S_{\triangle A E H}}{S_{\triangle A F H}} \cdot \frac{S_{\triangle A P H}}{S_{\triangle A S H}}=\frac{T H}{H E} \cdot \frac{\sin \angle E A H}{\sin \angle F A H} \cdot \frac{P H}{H S} =\frac{\sin \angle B C H}{\sin \angle H C A} \cdot \frac{\sin \angle C A H}{\sin \angle H A B} \cdot \frac{\sin \angle A B H}{\sin \angle H B C}=1$
2.P关于其塞瓦三角形的三边的对称点为Q,R,S,求证AQ,BR,CS共点
2000调和专题例2.3