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标题: [数论] 将正整数$n$拆为连续正整数之和，要如何拆？ [打印本页]

作者: abababa 时间: 2019-9-8 20:12 标题: 将正整数$n$拆为连续正整数之和，要如何拆？

如题，将正整数$n$拆为连续正整数之和，有多少种拆法？要如何拆？
感觉和$n$的一类约数的数量有关，但不知怎么证明。

作者: realnumber 时间: 2019-9-8 23:28

连续正整数依次是m,m+1,...,m+t-1,其中m，t都是正整数.
2n=t(2m+t-1),问题就是给定n，有几组解(t,m)
比如n=1,解只能是(1,1),
n=2,全部解是(1,2)
n=3,(1,3),(2,1)
n=4,(1,4)
n=12,(1,12),(3,3),不知道怎么做下去了

作者: 青青子衿 时间: 2019-9-9 09:17

本帖最后由青青子衿于 2019-9-9 09:28 编辑

应该是要解出这个二次不定方程。
$ \dfrac{(2a+k-1)\,k}{2} =n $
下面的代码是去掉平凡解后剩下的情形。
Table[Solve[(k (2 a + k - 1))/2 == nn && k > 1 && a > 0, {a, k},
Integers], {nn, 1, 22}] // Column
感觉这个解与$n$除某数所得结果有关。
9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 100
18 + 19 + 20 + 21 + 22 = 100

作者: abababa 时间: 2019-9-9 19:03

回复 3# 青青子衿

应该是和$n$的正的奇约数有关，我试了几个都是这样，例如$100=2^2\cdot5^2$，有$2+1=3$个正的奇约数，就有$3-1$个解。$21=3\cdot7$，有$(1+1)(1+1)=4$个正的奇约数，就有$4-1$个解。试了3楼几个例子都是这样，能不能证明呢？

作者: 青青子衿 时间: 2019-9-26 10:49

本帖最后由青青子衿于 2019-9-26 10:58 编辑

回复 4# abababa
这个结论是正确的。
任意整数表为相继整数之和的方法数同它的奇因子个数一样多。（这种计数是将自身也算上的）
参见《History of the Theory of Numbers, Volume II Diophantine Analysis》第139页。

在Oeis上，有奇因子个数序列
A001227
Number of odd divisors of n.
Also number of partitions of n into consecutive positive integers
including the trivial partition of length 1
(e.g., 9 = 2+3+4 or 4+5 or 9 so a(9)=3).
(Useful for cribbage players.)

作者: abababa 时间: 2020-11-26 16:36

回复 5# 青青子衿

我的水平读英文的还是很吃力，一边验算一边对照，最近终于读懂了这篇。
主楼这个问题经常在小学数学竞赛里出现，要说明操作过程并不难，但想证明它的原理就不太容易了。小学有些竞赛题还是挺有意思的，特别是数论和组合问题，我觉得证明上的难度比中学也不差。

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