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标题: [几何] 请教一道面积问题 [打印本页]

作者: ddm94858 时间: 2019-3-6 17:43 标题: 请教一道面积问题

已知$O$为坐标原点，圆$M:(x+1)^2+y^2=1$,圆$N:(x-2)^2+y^2=4$,$A,B$分别为圆$M$和圆$N$上的动点,则三角形$OAB$最大值为？

作者: kuing 时间: 2019-3-6 18:52

当 `B` 取定时，要使面积最大，则 `A` 的位置必须使 `MA\perp OB` 且与 `B` 同侧，如下图所示。
QQ截图20190306184720.png

设 `\angle AOM=\alpha`，则 `\angle BON=90^\circ-2\alpha`, `\angle AOB=90^\circ+\alpha`, `OA=2\cos\alpha`, `OB=4\sin2\alpha`，故
\[S=4\cos\alpha\sin2\alpha\cos\alpha=8\sin\alpha\cos^3\alpha,\]然后就是常规的均值方法
\[S^2=\frac{64}3(3-3\cos^2\alpha)\cos^2\alpha\cos^2\alpha\cos^2\alpha\leqslant\frac{64}3\left( {\frac34} \right)^4=\frac{27}4,\]即 `S\leqslant3\sqrt3/2`。

图片附件: QQ截图20190306184720.png (2019-3-6 18:48, 9.68 KB) / 下载次数 1640
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=7028&k=f8646d1d78f96585455c732a21690393&t=1713534597&sid=zzus3x

作者: ddm94858 时间: 2019-3-6 20:51

回复 2# kuing
学习了，多谢

作者: kuing 时间: 2019-3-10 22:44

四天后的这帖 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5943 嫌弃没有几何法，于是刚才又想了一下，还真想到了一个极其简单的纯平几解法

如图，沿长 `AO` 交大圆于 `A'`，因为两圆半径之比为 `2`，从而有 `OA'=2OA`，所以 $\S{OA'B}=2\S{OAB}$，显然当 `\triangle OA'B` 为等边三角形时面积最大，为 `3\sqrt3`，所以 $\max\S{OAB}=3\sqrt3/2$。

而且显然地，改变两圆的半径比也不影响此法的运用。

图片附件: QQ截图20190310224913.png (2019-3-10 22:49, 9.6 KB) / 下载次数 1696
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=7047&k=25727a8a9e03234748e0b3a5411a7bd1&t=1713534597&sid=zzus3x

作者: ddm94858 时间: 2019-3-11 10:35

回复 4# kuing
这个解法更简洁

作者: 游客 时间: 2019-3-11 15:16

图片附件: 无标题3.png (2019-3-11 15:15, 25.94 KB) / 下载次数 1679
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=7049&k=ae81a0b031dec3b01b2542e5e5bec1f2&t=1713534597&sid=zzus3x

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