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标题: [函数] 求证一个三角恒等式 [打印本页]
作者: hjfmhh    时间: 2019-2-12 22:11     标题: 求证一个三角恒等式

111.png
左边怎么证到右边

图片附件: 111.png (2019-2-12 22:10, 18.05 KB) / 下载次数 1517
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=6973&k=8aaac2c6d2684c2894e7ef08676d7f85&t=1713592938&sid=3EqIgy

作者: kuing    时间: 2019-2-13 00:27

令 `t=\cos(4\pi/9)`，则\[
-\frac12=\cos\frac{4\pi}3=4t^3-3t\riff8t^3-6t+1=0,
\]而\begin{align*}
\LHS&=\frac{(12t-1)^2}{6t-1}=\frac{9(4t-1)^2}{6t-1}+8,\\
\RHS&=18\sqrt3\sin\frac{2\pi}9+8=9\sqrt{6(1-t)}+8,
\end{align*}只需证 `6(1-t)(6t-1)^2=(4t-1)^4`，分解后就是前面的三次式。



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