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标题: [函数] 求证:存在一个值,使函数绝对值不等式成立 [打印本页]

作者: lemondian    时间: 2019-2-11 13:57     标题: 求证:存在一个值,使函数绝对值不等式成立

设$a,b$是实数,函数$f(x)=ax+b+\dfrac{9}{x}$。
证明:存在$x_0\in[1,9]$,使得$|f(x_0)|\geqslant 2$。
作者: kuing    时间: 2019-2-11 14:06

唉,又是这种套路题,怎么还没学会吗……

因为 $3\abs{f(1)}+4\abs{f(3)}+\abs{f(9)}\geqslant\abs{3f(1)-4f(3)+f(9)}=16$,所以 $\abs{f(1)}$, $\abs{f(3)}$, $\abs{f(9)}$ 中至少一个 $\geqslant2$。
作者: realnumber    时间: 2019-2-11 14:57

本帖最后由 realnumber 于 2019-2-11 15:19 编辑

假设不存在,即对任意$x_0\in$[1,9],有$\abs{f(x_0)}<2$.
由$-2<f(1)<2,-2<f(3)<2,-2<f(9)<2$,前两个相减可得a>1,后两个减可得a<1,矛盾,如此证明了原题.其他试了几个没成功,从图片看,也许不好找吧?
QQ截图20190211151451.png
2019-2-11 15:15

图片中的自变量x是a,各函数值是b.

图片附件: QQ截图20190211151451.png (2019-2-11 15:15, 14.69 KB) / 下载次数 0
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=6970&k=834a2d17c23c83630605b13572cde643&t=1568679344&sid=jiQiQi


作者: lemondian    时间: 2019-2-11 20:49

回复 2# kuing
真还没学会哩。
为什么要用到f(3)呢?
作者: 敬畏数学    时间: 2019-2-14 16:00

确实是套路题,高手!等号成立条件是1,3,9.
作者: kuing    时间: 2019-2-14 23:09

回复 4# lemondian

提示:因为 1*9=3^2
作者: kuing    时间: 2019-2-14 23:26

回复 4# lemondian

算了,还是提示得更具体一点吧:
如果 px+q/x (pq>0) 在 x=m、x=n 两处的函数值相同,你觉得它的极值会在哪里取?
作者: 业余的业余    时间: 2019-2-15 04:35

本帖最后由 业余的业余 于 2019-2-15 07:19 编辑

还真不知道这个套路题

学习了几位的解,kuing 的优雅, realnumber 的亲民。沿 realnumber 的思路,有如下思考:

令 $g(x)=ax+\cfrac 9x\>\> (a\ne 0)。 $ 假设以某种方法,我们求出了
$g(x)$ 在区间 $[1,9]$ 上的最大值和最小值分别为 $M, m$, 那么显然,$|f(x)|=|g(x)+b|$ 在 $b=-\cfrac {M+m}2$ 时取得最小最大值 $\cfrac {M-m}2$

令 $g'(x)=a-\cfrac 9{x^2}=0$ 得极值点 $x=\cfrac 3{\sqrt{a}}$ (仅当 $a>0$ 时有这个极值点),显然,仅当 $\cfrac {1}9<a<9$ 时,这个极值点落在给定区间的内部,此时对应的函数的最小值为 $6\sqrt{a}$。以下分两种情形考虑

1.  当$\cfrac {1}9<a<9$ 时,$|f(x)|$ 在给定区间内最小最大值为 $Max\left(\cfrac {|6\sqrt{a}-9a-1|}2, \cfrac{|6\sqrt{a}-a-9|}2\right)$, 简单运算可知其值为 $2$

2. $a$ 为其它值时,$|f(x)|$ 在给定区间内最小最大值为 $\cfrac {|9a+1-a-9|}2 = 4|a-1|$, 显然 $>2$.



回到kuing 的解,正如 敬畏数学所说,$1,3,9$ 这三个值是不二选择,我试过其它组合,得到的最小值都小于$ 2$。可是为什么呢?$ 1,9 $是边界,容易想到;$ 3 $呢?$\sqrt{1\times 9}$? 背后的理由为何?

沿kuing 的思路,对 $x_0, x_1, x_2\in[1,9]$, $i,j,k>0$, 使

$i f(x_0)+j f(x_1) - k f(x_2)=(ix_0+jx_1- kx_2)a+(i+j-k)b+9\left(  \cfrac i{x_0}+\cfrac j{x_1}-\cfrac k{x_2}\right)$

中 $a,b$ 的系数都为零,且使 $M(x_0,x_1,x_2)=\cfrac {9\left(  \middle|\cfrac i{x_0}+\cfrac j{x_1}-\cfrac k{x_2}\middle|\right)}{i+j+k}$ 取最大值。

试验表明 仅当 $x_i$ 取 $1,3,9$ 时 $M$ 取得最大值 $2$.

为什么? 这是一个难度不小于原题的不等式问题,或约束条件下的最值问题。归纳为

求证: $\forall x_0,x_1, x_2\in [1,9], \forall i,j,k>0, $ 如果 $ i+j-k=0, ix_0+jx_1-kx_2=0$, 那么 $\cfrac {9\left(  \middle|\cfrac i{x_0}+\cfrac j{x_1}-\cfrac k{x_2}\middle|\right)}{i+j+k}\leqslant 2$

这个问题可以把以上两种思路综合起来来证明,但是否有更优雅、简洁的办法?
作者: 其妙    时间: 2019-2-16 07:31

回复 8# 业余的业余
搞得这么复杂?
$h(x)=x+\dfrac9x$,则$h(1)=h(9)$,于是$\min\{\max\abs{f(x)}\}=\dfrac{h(1)-h(3)}2=2$
作者: 业余的业余    时间: 2019-2-16 08:35

回复 9# 其妙

我的不等式水得很,你的跨度大了我跟不上,能不能加点注或加一些中间步骤。

我上面的不等式是从研究这个问题的过程中派生出的,但它是一个独立的问题。如果抽掉上下文,不一定好证明。也许我应该单独把它抽出来发个贴。
作者: 业余的业余    时间: 2019-2-16 08:41

特别的,我不理解你拿掉了 $ a $ 后,$h(x)$ 和 $ f(x) $ 如何连接或等同起来。
作者: 敬畏数学    时间: 2019-2-17 11:52

回复 10# 业余的业余
各人观点可以不一。求同存异。
作者: 业余的业余    时间: 2019-2-17 20:35

本帖最后由 业余的业余 于 2019-2-17 20:37 编辑

回复 12# 敬畏数学

嗯。楼主这个问题我大致是懂了。要想取得 $|f(x)|$ 的最小最大值,必须使 $f(x)-b$ 在定义域内的最大值和最小值之间的差距最小。根据对称,这种情形必定在 $f(1)=f(9)$, 即两个边界点的函数值相等时达到,由此推出 $a=1$。有了 $a=1$, 最小值点在 $x=3$ 就很清楚了。
作者: 敬畏数学    时间: 2019-2-18 18:42

回复 8# 业余的业余
好好读了你的过程。




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