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标题:
[不等式]
来道不等式难题 $\sum_{cyc} \cfrac 1{7a+b}$ 型
[打印本页]
作者:
业余的业余
时间:
2018-12-20 01:43
标题:
来道不等式难题 $\sum_{cyc} \cfrac 1{7a+b}$ 型
题目来自
math.stackexchange.
已知 $a,b,c>0, a+b+c=abc$ 求证:
$$\frac{1}{7a+b}+\frac{1}{7b+c}+\frac{1}{7c+a}\leq\frac{\sqrt3}{8}$$
我把它恒等变型,得到如下等价的命题: $x,y,z>0 \land x+y+z=1 \implies \sqrt{xyz}\sum_{cyc}\cfrac 1{7x+y}\leq\frac{\sqrt3}{8}$.
这个不等式不知道该怎样缩放,一放就容易放过头。这个帖子有快两年的历史了,试的人不少,至今无解。
作者:
kuing
时间:
2018-12-20 01:52
连 Michael Rozenberg 都搞不定,我看我也没什么机会能做出来了……
作者:
业余的业余
时间:
2018-12-20 01:53
那位大神是?
作者:
Infinity
时间:
2019-1-30 20:54
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2#
kuing
可以试试切线法结合放缩。
作者:
业余的业余
时间:
2019-1-31 10:52
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4#
Infinity
切入点需要极巧。这个不等式不太经得起放缩,一不小心就放过头(最大值成了最小值)。放到能用切线法,应该就不是问题了。
作者:
Infinity
时间:
2019-1-31 15:26
一般来说,大多数不等式的源头是排序不等式和琴生不等式,切线法本质上是琴生不等式的变体版。可以试试原始的琴生不等式或排序不等式。
经尝试发现取等条件之一是xyz三者相等,故可以考虑上述方法。还可以使用调整法,比如固定两个相等,剩下一个变化,不过可能比较麻烦。
作者:
业余的业余
时间:
2019-2-1 00:54
作者:
zdyzhj
时间:
2019-2-6 06:37
既然老头子玩不出来我就玩一下,我一玩就知道这个不等式不是老头子能玩的系列,因为已超出他的手段范围了,即使是差分都有多个负项,所以不是他能搞动的了,不过我们仍有手段搞出来,只是证明不漂亮了,没什么困难。这样的东西玩得多了。因为是循环的,想漂亮弄出来,几乎不可能.
作者:
业余的业余
时间:
2019-2-7 04:57
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8#
zdyzhj
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