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标题: [函数] 这两个性质如何证明 [打印本页]
作者: lemondian    时间: 2018-10-25 17:46     标题: 这两个性质如何证明

本帖最后由 lemondian 于 2018-10-25 17:47 编辑

这两个性质如何证明：（由图象是很容易理解，但如何严格证明？）
设函数$y=f(x)的图象关于直线x=m对称：$
(1)若函数$（-\infty ，m]$单调递增，在$[m,+\infty )$上单调递减，则$|x_1-m|<|x_2-m| \liff\riff f(x_1)>f(x_2)$;
(2)若函数$（-\infty ，m]$单调递减，在$[m,+\infty )$上单调递增，则$|x_1-m|<|x_2-m| \liff\riff f(x_1)<f(x_2)$。
哎，等价于这个符号我打不出来。。。
作者: isee    时间: 2018-10-25 18:17

本帖最后由 isee 于 2018-10-25 18:41 编辑

回复 1# lemondian

等价符号 \iff
作者: kuing    时间: 2018-10-25 18:49

回复 2# isee

会用我自定义的 \liff 和 \riff 却不会用自带的 \iff ……也算是难得……
作者: isee    时间: 2018-10-25 18:50

回复 3# kuing

所以都怪你，哈哈哈
作者: abababa    时间: 2018-10-25 19:04

回复 1# lemondian

只证第一个。
当$x_1, x_2 \le m$时，相当于证明$m-x_1 < m-x_2 \iff f(x_1)>f(x_2)$，因为在这区间里单调递增，由定义可知结论正确。
当$x_1, x_2 \ge m$时同理结论正确。
当$x_1 \le m, x_2 \ge m$时，相当于证明$m-x_1 < x_2-m \iff f(x_1)>f(x_2)$。设$x_2$关于$m$的对称点为$x_2'$，则$x_1, x_2' < m, x_2-m=m-x_2', f(x_2)=f(x_2')$，于是只要证明$m-x_1 < m-x_2' \iff f(x_1) > f(x_2')$，再次由单调的定义可知结论正确。
当$x_1 \ge m, x_2 \le m$时，同理可知结论正确。
作者: 游客    时间: 2018-10-25 23:40

未命名.PNG
2018-10-25 23:40


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作者: lemondian    时间: 2018-10-26 08:55

谢谢各位。



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