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标题: [不等式] 网友问的三元不等式 sum1/(a^2+bc)>=12/(a+b+c)^2 [打印本页]
作者: kuing    时间: 2018-10-22 14:23     标题: 网友问的三元不等式 sum1/(a^2+bc)>=12/(a+b+c)^2

长风大侠  2018-10-22 10:40
QQ截图20181022141208.jpg

感觉似曾相识，但查了撸题集和论坛都没查到，不过这都不要紧，要紧的是这不等式看似不难，我却想来想去都想不出简单的证法，只想出难看的：

不妨设 `a=\min\{a,b,c\}`，先证明
\[\frac1{b^2+ca}+\frac1{c^2+ab}\geqslant\frac4{\frac34(b+c)^2+a(b+c)-bc}, \quad(*)\]
将上式去分母因式分解再配方后，等价于
\[(b-c)^2\bigl((b+c-2a)^2+2(b-c)^2+10bc-5ab-5ac\bigr)\geqslant0,\]
显然成立，于是，令 `b+c=t`，由式 (*) 及柯西，有
\[\sum\frac1{a^2+bc}\geqslant\frac1{a^2+bc}+\frac4{\frac34t^2+at-bc}\geqslant\frac9{a^2+\frac34t^2+at},\]
那么要证原不等式只需证
\[9(a+t)^2\geqslant12\left( a^2+\frac34t^2+at \right),\]
化简即 `3a(2t-a)\geqslant0`，由于 `t\geqslant2a`，所以不等式得证。

注：取等条件为 `a=0` 且 `b=c` 及其轮换，所以依照原题的正数条件是取不了等的。

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http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=6698&k=9c3a6cba9179934ec1efd8cba01090bc&t=1713515072&sid=4xe5tx

作者: kuing    时间: 2018-10-22 15:19

网友给我发了某网友的一个证明，我才想起在计爷的书上看过这个：
QQ截图20181022151753.jpg

图片附件: QQ截图20181022151753.jpg (2018-10-22 15:18, 56.37 KB) / 下载次数 1558
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=6699&k=b7015df775f7f1defd605b3bbc0f6b3f&t=1713515072&sid=4xe5tx

作者: 游客    时间: 2018-10-22 16:45

这样看来，感觉这个就只是个课后习题。。。。
作者: yao4015    时间: 2018-10-23 11:50

确实见过, 在 Vasc 的书中见过原题. 证明并不简单.

01.png
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