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标题: [几何] 解析几何有巧算吗 [打印本页]
作者: player1703    时间: 2018-7-12 22:48     标题: 解析几何有巧算吗

Capture.PNG
2018-7-12 22:47

抛物线$y^2=2px$上关于$x$轴对称的两个点A, A'处的切线交于P. 抛物线上任意一异于A, A'的点B处的切线分别交AP, A'P所在直线于C, D. 求证AC=PD.

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http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=6432&k=a447ac79e5425eb09ed6df20e28c4c82&t=1713459000&sid=lPH7l1

作者: kuing    时间: 2018-7-13 01:16

这当然应该玩几何方法咯……

QQ截图20180713011554.png
2018-7-13 01:15


由光学性质易知 `\angle FAP=\angle FPA`，即 `\angle FAC=\angle FPD`。

由《撸题集》第 54 页定理 1.2.1 知 `P`, `C`, `F`, `D` 四点共圆，所以 `\angle ACF=\angle PDF`。

因为 `PF` 平分 `\angle CPD`，所以 `FC=FD`。

由以上三点可知 `\triangle FAC\cong\triangle FPD`，所以 `AC=PD`。

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http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=6433&k=f9510cdcda70c1bc9b6dd964e38182ec&t=1713459000&sid=lPH7l1

作者: isee    时间: 2018-7-13 12:09

本帖最后由 isee 于 2018-7-13 12:49 编辑

每次看到 kuing 的《撸题集》第 54 页定理 1.2.1，都觉得那个倒角的证明是属于kuing的：论坛里（4楼）。

换种表述形式——给个另证。

命题：已知抛物线焦点为$F$，过抛物线外部任意一点$C$作抛物线两切线，切点分别为$A$,$B$，则有$\angle FAC = \angle FCB$.

另证：辅助线如图，$A'F'$是抛物线的准线，$EG$是$y$轴，$OD$是$x$轴.

p-t.png
2018-7-13 12:22



直线$AE$交$x$轴于点$D$，由抛物线的光学性质及定义知$$AF=AA'=FD,$$
这就有$$\angle D=\angle FAC.$$
另一方面$$AA'=F'A'',$$
于是$$FD=F'A''$$
又$O$为$FF'$的中点，知，$O$亦是$DA''$的中点，记直线$EA$交$y$轴于$E$，则$$DE=EA,$$
连接$EF$即有$$FE\perp CA.$$
同理对另一条切线有$$FG\perp CB.$$
于是$E$，$C$，$G$，$F$四点共圆，故$$\angle FCB=\angle FEG=\angle D=\angle FAC.$$


特别的，作第三条切线与前两条切线相交，


p-ta.png
2018-7-13 12:44



对$CA$，$CB$切线，有$\angle FCB=\angle FAC$，对$HP$，$HA$切线，有$\angle FHI=\angle FAC$，于是$\angle FCA=\angle FHI$，这样$C$，$I$，$F$，$H$这四点共圆.

当点$C$落在$x$轴上时，便是主楼了.



以上其实都是废话，只是个人重新认识这个题，特别是那个另证.

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http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=6434&k=d227151633e2ca759bc48bdebbf6c524&t=1713459000&sid=lPH7l1



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http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=6435&k=0988b63edd45b5dcc3371a09d67cbc5d&t=1713459000&sid=lPH7l1

作者: kuing    时间: 2018-7-13 13:52

回复 3# isee

这种老东东属不属于谁都没所谓了，都是被玩烂的东东，大家无非都在重复发现

PS、引理 1.2.1 我的证明（第 998 页处）的后半部分其实证得也不是很好，后来在群里 wwd 给了一个更好看的证明：
[2018-05-16 减压群群聊记录]
生如夏花(2365*****) 20:18:08
QQ图片20180713140051.png
2018-7-13 14:01

@大色k
就这几行想了一个多小时
大色k(249533164) 20:22:03
很好啊，证得比我撸题集里简单

这个证明不但非常好看，而且无需分 K 在准线哪边，所以图中 I、N 两点亦无需标出。

图片附件: QQ图片20180713140051.png (2018-7-13 14:01, 15.06 KB) / 下载次数 2096
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=6436&k=dc8cf7864d3a03a885ce2a7a0162543b&t=1713459000&sid=lPH7l1

作者: isee    时间: 2018-7-13 14:24

回复 4# kuing


本质和你原证一样，反思后的优化，是很漂亮简洁，学习了。
作者: 敬畏数学    时间: 2018-7-14 08:19

很多漂亮的结论啊。
作者: joatbmon    时间: 2018-7-17 23:11

4楼那个证明前面一半，好像2005年江西高考题
作者: hbghlyj    时间: 2021-6-1 00:01

见圆锥曲线的几何性质中译本第16页
新建位图图像.jpg
2021-6-1 00:00


图片附件: 新建位图图像.jpg (2021-6-1 00:00, 27.12 KB) / 下载次数 1778
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=9770&k=efe6623419908e12281b44b54d4cd8e9&t=1713459000&sid=lPH7l1

作者: hbghlyj    时间: 2021-6-1 01:28

回复 1# player1703
就是这帖吧
作者: hbghlyj    时间: 2021-6-1 03:40

1.png
2021-6-1 03:39

5000圆锥曲线专题 第四部分125楼

图片附件: 1.png (2021-6-1 03:39, 163.5 KB) / 下载次数 1931
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=9782&k=47223fcdb5dd4ad50940633c63b3de97&t=1713459000&sid=lPH7l1





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