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标题: [几何] 一道椭圆有关的证明题 [打印本页]

作者: lemondian 时间: 2018-7-11 18:51 标题: 一道椭圆有关的证明题

$设P（x,y)为椭圆\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1上任意一点,且满足cosy>sinx.求证：a^2+b^2<\dfrac{\pi^2}{4}$

作者: kuing 时间: 2018-7-11 19:15

原题真是这样？一字不差？

作者: lemondian 时间: 2018-7-11 20:05

回复 2# kuing

一字不差

作者: tommywong 时间: 2018-7-11 20:37

$cos|b|\ge cosy>sinx \ge sin|a|$

$|b|<\frac{\pi}{2}-|a|$

作者: lemondian 时间: 2018-7-12 08:38

回复 4# tommywong
完了？

作者: tommywong 时间: 2018-7-12 19:13

完了，就是不知道跟這個題目有什麼關係

作者: tommywong 时间: 2018-7-15 11:32

$|a|\ge\frac{\pi}{2},x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow cosy>1$

$|x|<|a|<\frac{\pi}{2}$

$|b|\ge\pi,y=\pi\Rightarrow -1>sinx$

$|b|<\pi$

$x=0,y=b\Rightarrow cosb>0\Rightarrow |y|<|b|<\frac{\pi}{2}$

$cos|y|>sin|x|\Rightarrow |x|+|y|<\frac{\pi}{2}\Rightarrow x^2+y^2<\frac{\pi^2}{4}$

$x=\frac{a}{\sqrt{2}},y=\frac{b}{\sqrt{2}}\Rightarrow a^2+b^2<\frac{\pi^2}{2}$

我們已經盡力了

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