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标题: [数论] 三元同余方程的整数解 [打印本页]

作者: 12673zf 时间: 2018-7-7 12:18 标题: 三元同余方程的整数解

已知$a,b,c$为整数，且对任意正整数$m,n$，存在整数$x$满足如下关系：$ax^2+bx+c\equiv m\pmod{n}$。求所有满足要求的三元数组$(a,b,c)$。
题目出处：2018年北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题第一题

作者: tommywong 时间: 2018-7-7 20:54

$ax^2+bx+c\equiv m\pmod{n}$

假射$a\neq 0$

$\exists p,s.t.p|n,(a,p)=(2,p)=1$

$x^2+a^{-1}bx+a^{-1}(c-m)
\equiv (x+\frac{a^{-1}b}{2})^2-(\frac{a^{-1}b}{2})^2+a^{-1}(c-m)\equiv 0\pmod{p}$

取$m=c-a(\frac{a^{-1}b}{2})^2+aq$

$(x+\frac{a^{-1}b}{2})^2\equiv q\pmod{p}$

若q不是p的二次剩餘，此式不可能成立，所以a=0。

$bx+c\equiv m\pmod{n}$

假射$b^2>1$,$n=b,m=c+1\Rightarrow 0\equiv 1\pmod{b}$矛盾

假射$b=0$,$n=2,m=c+1\Rightarrow 0\equiv 1\pmod{2}$矛盾

$\forall b^2=1$,$x=b(m-c)\Rightarrow bx+c\equiv m\pmod{n}$

作者: 12673zf 时间: 2018-7-9 14:31

回复 2# tommywong

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