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标题: 集合证明题 [打印本页]

作者: APPSYZY 时间: 2018-7-3 21:00 标题: 集合证明题

图片附件: QQ截图20180703205750.png (2018-7-3 21:00, 10.18 KB) / 下载次数 1051
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作者: realnumber 时间: 2018-7-5 09:25

这样可以吗？依次考虑1~8有没有在左右两部分中

图片附件: 22.GIF (2018-7-5 09:33, 1.7 KB) / 下载次数 1036
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=6417&k=f830e702768ec336b0268356ea366e85&t=1713584060&sid=4TN1Nw

作者: APPSYZY 时间: 2018-7-5 17:53

回复 2# realnumber

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作者: tommywong 时间: 2018-7-5 20:35

$(A\cup B\cup C)\cap(\neg A\cup B\cup C)=(A\cap \neg A)\cup B\cup C=B\cup C$

$(A\cup B\cup C)\cap(\neg A\cup B\cup C)\cap(A\cup \neg B\cup C)\cap(A\cup B\cup \neg C)$

$=(A\cup B)\cap(A\cup C)\cap(B\cup C)$

$=(A\cup (B\cap C))\cap(B\cup C)$

$=(A\cap (B\cup C))\cup(B\cap C)$

$=(A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C)$

作者: tommywong 时间: 2018-7-5 22:14

$\displaystyle\bigcap(A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup \dots\cup A_{i_{n-1}})$

$\displaystyle=(A_1\cup A_2\cup \dots\cup A_{n-1})\cap \bigcap_{i_k\neq n}(A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup \dots\cup A_{i_{n-2}}\cup A_n)$

$\displaystyle=((A_1\cup A_2\cup \dots\cup A_{n-1})\cap A_n)\cup \bigcap_{i_k\neq n}(A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup \dots\cup A_{i_{n-2}})$

$\displaystyle=\bigcup_{i\neq n}(A_i\cap A_n)\cup \bigcap_{i_k\neq n}(A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup \dots\cup A_{i_{n-2}})$

$\displaystyle\bigcap(A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup \dots\cup A_{i_{n-1}})=\bigcup(A_{i_1}\cap A_{i_2})$

作者: APPSYZY 时间: 2018-7-6 12:05

回复 5# tommywong
Thank you~~~~

作者: 大一新生 时间: 2018-9-15 21:11

5楼应该是作了推广，然而怎么也看不懂..

作者: 游客 时间: 2018-9-16 10:54

这是要证明"我就是我"的节奏啊

作者: Infinity 时间: 2018-9-16 14:20

回复 1# APPSYZY
如果了解数学中的逻辑代数，证明过程非常简单自然。并集可以写成加法，交集可以写成乘法（因为集合运算满足幺元律，零元律，交换律，分配律和结合律），然后注意利用集合运算的特殊性质（如吸收律、德摩根定律），直接进行代数运算、变形即可。简单来说，从右边证明，令$X=AB+BC+AC，Y=B+C，Z=A+\overline{B+C}$，那么右边前两个括号的乘积结果为$X+Y$，后两个括号乘积为$X+Z$，因此结果就是$(X+Y)(X+Z)=X+X(Y+Z)+YZ=X+AX+AB+AC=X$
当然，如果学过数字电路，也会很熟悉这些化简过程。

作者: tommywong 时间: 2018-9-16 17:28

本帖最后由 tommywong 于 2018-9-17 20:09 编辑

9#

$(A+B+C)(\overline{A}+B+C)=A\overline{A}+(A+\overline{A})(B+C)+(B+C)=B+C$

$(A+\overline{B}+C)(A+B+\overline{C})=A+AB+A\overline{C}+A\overline{B}+\overline{B}
\overline{C}+AC+BC=A+BC+\overline{B}\overline{C}$

$(B+C)(A+BC+\overline{B}\overline{C})=AB+AC+BC$

4#

$(A+B+C)(\overline{A}+B+C)=B+C$

$(A+B+C)(\overline{A}+B+C)(A+\overline{B}+C)(A+B+\overline{C})$
$=(A+B)(A+C)(B+C)=(A+BC)(B+C)=AB+AC+BC$

5#

$\prod (A_{i_1}+A_{i_2}+\dots+A_{i_{n-1}})$

$\displaystyle =(A_1+A_2+\dots+A_{n-1})\prod_{i_k\neq n}
(A_{i_1}+A_{i_2}+\dots+A_{i_{n-2}}+A_n)$

$\displaystyle =(A_1+A_2+\dots+A_{n-1})A_n+
\prod_{i_k\neq n}(A_{i_1}+A_{i_2}+\dots+A_{i_{n-2}})$

$\displaystyle =A_1 A_n+A_2 A_n+\dots+A_{n-1}A_n+
\prod_{i_k\neq n}(A_{i_1}+A_{i_2}+\dots+A_{i_{n-2}})$

$\prod (A_{i_1}+A_{i_2}+\dots+A_{i_{n-1}})=\prod A_{i_1}A_{i_2}$ （寫錯）

寫成這樣也差不多難懂吧

作者: APPSYZY 时间: 2018-9-17 19:41

回复 10# tommywong
好像笔误了，结论应该是\[\prod (A_{i_1}+A_{i_2}+\dots+A_{i_{n-1}})=\sum A_{i_1}A_{i_2}\]

作者: APPSYZY 时间: 2018-9-17 19:55

如果把上面的求和、求积符号写完整，是不是应该是这样的？\[\prod_{i=1}^n(A_{i_1}+A_{i_2}+\dots+A_{i_{n}})=\prod_{i=1}^n\sum_{j=1}^nA_{i_j}\]
下标是数字，数字下标的下标还是数字，总感觉怪怪的，比如$A_{1_1}$...

作者: tommywong 时间: 2018-9-17 20:14

回复 12# APPSYZY

這樣

$\displaystyle\prod_{1\le i_1<i_2<\dots<i_{n-1}\le n} (A_{i_1}+A_{i_2}+\dots+A_{i_{n-1}})
=\sum_{1\le i_1<i_2\le n} A_{i_1}A_{i_2}$

作者: kuing 时间: 2018-9-18 21:03

不太熟悉这些东东，看了半天总算看懂了上面的推广，下面按我自己的理解来解释一下，如有错请指出。

首先，用加表示并，乘表示交，比如等式 `X\cap(Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup(X\cap Z)` 写成 `X(Y+Z)=XY+XZ`，即满足分配律，但是系数和幂是没用的，皆因 `X+X=X` 以及 `XX=X`，故此，比如，在展开 `(A+B)(B+C)(C+A)` 时，`A^2B` 和 `AB^2` 都为 `AB`，因此展开为 `AB+AC+BC+ABC`，又显然有 `X+XY=X`，因此最后一项是多余的，所以
\[(A+B)(B+C)(C+A)=AB+BC+CA,\]
多元也是同理的
\begin{align*}
&(A_2+A_3+\cdots+A_n)(A_1+A_3+\cdots+A_n)\cdots(A_1+A_2+\cdots+A_{n-1})\\
={}&\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}A_iA_j+\sum_{1\leqslant i<j<k\leqslant n}A_iA_jA_k+\cdots+\prod_{i=1}^nA_i,
\end{align*}
由第二个和式起的项都是多余的，所以
\[(A_2+A_3+\cdots+A_n)(A_1+A_3+\cdots+A_n)\cdots(A_1+A_2+\cdots+A_{n-1})=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}A_iA_j. \quad(*)\]

另一方面，因为 `(X+Y)(X+\overline Y)=X+XY+X\overline Y=X`，故
\begin{align*}
(A_1+A_2+\cdots+A_n)(\overline{A_1}+A_2+\cdots+A_n)&=A_2+A_3+\cdots+A_n,\\
(A_1+A_2+\cdots+A_n)(A_1+\overline{A_2}+\cdots+A_n)&=A_1+A_3+\cdots+A_n,\\
&\cdots\\
(A_1+A_2+\cdots+A_n)(A_1+A_2+\cdots+\overline{A_n})&=A_1+A_2+\cdots+A_{n-1},
\end{align*}
将它们乘起来，结合式 (*)，即
\begin{align*}
&(A_1+A_2+\cdots+A_n)(\overline{A_1}+A_2+\cdots+A_n)(A_1+\overline{A_2}+\cdots+A_n)\cdots(A_1+A_2+\cdots+\overline{A_n})\\
={}&(A_2+A_3+\cdots+A_n)(A_1+A_3+\cdots+A_n)\cdots(A_1+A_2+\cdots+A_{n-1})\\
={}&\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}A_iA_j,
\end{align*}
这就是上面的推广式。

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