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标题: [几何] 2018年天津卷理科第8题 向量内积 [打印本页]

作者: isee    时间: 2018-6-8 23:45     标题: 2018年天津卷理科第8题 向量内积

本帖最后由 isee 于 2018-6-21 14:19 编辑

来了来了,不过,不想算。。。

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如图,在平面四边形$ABCD$中,$AB \bot BC$ ,$AD \bot CD$ ,$\angle BAD = 120^\circ $ ,$AB = AD = 1$ . 若点$E$为边$CD$上的动点,则$\overrightarrow {AE}  \cdot \overrightarrow {BE} $ 的最小值为

选项略

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http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=6316&k=b331801defa43dd02089c6d8864c07d4&t=1711678763&sid=3DAojo


作者: kuing    时间: 2018-6-9 01:21

不用怎么算啊,又用那啥就行了 $4\vv{EA}\cdot\vv{EB}=(\vv{EA}+\vv{EB})^2-(\vv{EA}-\vv{EB})^2$,下略。
作者: 乌贼    时间: 2018-6-9 03:03

211.png
2018-6-9 03:03

\[ \vv{AE}\cdot\vv{BE}=AE\times EF=EM^2=EO^2-MO^2\geqslant (EN+NO)^2-\dfrac{1}{4}=(1+\dfrac{1}{4})^2-\dfrac{1}{4}=\dfrac{21}{16} \]

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http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=6320&k=9c6f84f40cc84bacfa250af50104cb7a&t=1711678763&sid=3DAojo


作者: 敬畏数学    时间: 2018-6-10 13:26

回复 3# 乌贼
有见套路题(积化。。。。)
作者: isee    时间: 2018-6-11 10:43

\[ \vv{AE}\cdot\vv{BE}=AE\times EF=EM^2=EO^2-MO^2\geqslant (EN+NO)^2-\dfrac{1}{4}=(1+\dfrac{1}{4}) ...
乌贼 发表于 2018-6-9 03:03


这种切割线的构造实在是厉害
作者: isee    时间: 2018-6-11 10:47

回复 2# kuing


然后咋办?
作者: isee    时间: 2018-6-11 10:51

本帖最后由 isee 于 2022-3-4 23:27 编辑

常规计算如下。

设$ED=x$,则
\begin{align*}
\vv {EA}\cdot\vv{EB}&=(\vv{ED}+\vv{DA})(\vv{EC}+\vv{CB})\\
&=\vv{ED}\cdot\vv{EC}+\vv{ED}\cdot\vv{CB}+\vv{DA}\cdot\vv{EC}+\vv{DA}\cdot\vv{CB}\\
&=-x(\sqrt 3-x)+\frac {\sqrt 3 x}2+0+\frac{3}2\\
&=\left(x-\frac {\sqrt 3}4\right)^2+\frac{21}{16}\\
&\geqslant \frac {21}{16}
\end{align*}
作者: 色k    时间: 2018-6-11 11:12

回复 6# isee

然后还用我说?
作者: isee    时间: 2018-6-11 11:16

回复 8# 色k

没理解到方向。。说吧。。
作者: isee    时间: 2018-6-11 11:29

回复  isee

然后还用我说?
色k 发表于 2018-6-11 11:12



不要说取AB中点吧?然后此中点到CD距离最小?最后与3楼同质?
作者: 色k    时间: 2018-6-11 11:39

回复 10# isee

当然啊
作者: 游客    时间: 2018-6-11 13:56

本帖最后由 游客 于 2018-6-11 14:00 编辑

未命名.PNG
2018-6-11 13:56


2楼的运算可以用上这个矩形。

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作者: 走走看看    时间: 2022-3-4 10:07

回复 7# isee

$倒数第三行笔误,最后一个数字应是\frac{3}{2}$。
作者: 走走看看    时间: 2022-3-4 10:17

回复 10# isee

Kuing的意思是,用到AB中点F。这样就变成了$EF^2-AF^2$,而AF为定值,F点为定点,因此只要EF最小即可。

E是CD上的动点,所以EF的最小值是过F点向DC所作的垂线段长,设垂足为$G,EF(min)=FG=1+\frac{1}{2}×cos60°=\frac{5}{4}$。
作者: isee    时间: 2022-3-4 23:27

回复 13# 走走看看

哎呀呀,真认真看了哇,论坛不少经典题~




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