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标题: 2018年高考全国卷2文科第21题 [打印本页]

作者: zhcosin    时间: 2018-6-8 20:55     标题: 2018年高考全国卷2文科第21题

本帖最后由 zhcosin 于 2018-6-8 22:57 编辑

题目 (2018-06-08,2018高考全国卷2文科第21题)
  
  已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^3 - a (x^2 + x + 1)$.
  
  (1) 若 $a = 3$,求 $f (x)$ 的单调区间.
  
  (2) 证明: $f (x)$ 只有一个零点.

解答 (1) 若 $a = 3$,则 $f (x) = \frac{1}{3} x^3 - 3 (x^2 + x +
  1)$,导函数 $f' (x) = x^2 - 6 x - 3 = \left( x - \left( 3 - 2 \sqrt{3}
  \right) \right) \left( x - \left( 3 + 2 \sqrt{3} \right) \right)$,
  
  根据导函数的符号可知,函数在 $\left( - \infty, 3 - 2 \sqrt{3}
  \right)$ 上单调增加,在 $\left( 3 - 2 \sqrt{3}, 3 + 2 \sqrt{3}
  \right)$ 上单调减少,在 $\left( 3 + 2 \sqrt{3}, + \infty \right)$
  上单调增加.
  
  (2) 导函数 $f' (x) = x^2 - 2 a x - a$,讨论其根的情况:
  
  (2.a) 如果导函数至多只有一根,即 $4 (a^2 + a) \leqslant 0$,也即 $- 1 \leqslant a \leqslant 0$ 时,导函数的符号恒为非负,且至多只在一个点处取零值,所以函数 $f (x)$ 在 $\mathbb{R}$上单调增加.实际上,这时它就正好有一个零点,说明如下:
  因为
  \[ f (x) = x^3 \left( \frac{1}{3} - \frac{a}{x} - \frac{a}{x^2} -
     \frac{a}{x^3} \right) \]
  令 $\left| \frac{a}{x} \right| < \frac{1}{18}$, $\left| \frac{a}{x^2} \right| < \frac{1}{18}$, $\left| \frac{a}{x^3} \right| < \frac{1}{18}$,此时便有 $\left| \frac{a}{x} + \frac{a}{x^2} + \frac{a}{x^3} \right| < 3 \times \frac{1}{18} = \frac{1}{6}$,因此括号中的表达式将恒为正号,于是函数值的符号便由 $x^3$ 来确定,于是令 $h (a) = \max \left( 18 | a |, \sqrt{18 | a |}, \sqrt[3]{18 | a |} \right)$,则有 $f (h (a)) > 0$,而 $f (- h (a)) < 0$, 于是函数 $f (x)$ 在区间 $(- h (a), h (a))$ 上正好有一个零点,且是它在 $\mathbb{R}$ 上的唯一零点.
  
  (2.b) 如果导函数有两根,即 $4 (a^2 + a) > 0$,即 $a < - 1$ 或者 $a > 0$,这时导函数的两根是 $x_1 = a - \sqrt{a^2 + a}$, $x_2 = a + \sqrt{a^2 + a}$,函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, x_1)$ 上单调增加,在 $(x_1, x_2)$ 上单调减少,在 $(x_2, + \infty)$ 上单调增加.在 $x = x_1$ 处取极大值,在 $x = x_2$ 处取极小值并且 $f (x_1) > f(x_2)$.显然,函数只有一个零点的充分必要条件是 $f (x_1) < 0$ 或者 $f (x_2) > 0$(用反证法可以说明),是否如此呢,利用$x_1, x_2$ 都满足方程 $f' (x) = 0$,即 $x_i^2 = 2 a x_i + a (i = 1, 2)$,有
  \begin{eqnarray*}
    f (x_1) & = & \frac{1}{3} x_1^3 - a (x_1^2 + x_1 + 1)\\
    & = & \frac{1}{3} x_1 \cdot (2 a x_1 + a) - a (x_1^2 + x_1 + 1)\\
    & = & - \frac{1}{3} a x_1^2 - \frac{2}{3} a x_1 - a\\
    & = & - \frac{1}{3} a (2 a x_1 + a) - \frac{2}{3} a x_1 - a\\
    & = & - \frac{2}{3} a (a + 1) x_1 - \frac{1}{3} a^2 - a\\
    & = & - a \left( \frac{2}{3} (a + 1) x_1 + \frac{1}{3} a + 1 \right)\\
    & = & - a \left( \frac{2}{3} (a + 1) \left( a - \sqrt{a^2 + a} \right) +
    \frac{1}{3} a + 1 \right)
  \end{eqnarray*}
  同理有
  \begin{eqnarray*}
    f (x_2) & = & - a \left( \frac{2}{3} (a + 1) x_2 + \frac{1}{3} a + 1
    \right)\\
    & = & - a \left( \frac{2}{3} (a + 1) \left( a + \sqrt{a^2 + a} \right) +
    \frac{1}{3} a + 1 \right)
  \end{eqnarray*}
  接下来验证,当 $a < - 1$ 时有 $f (x_2) > 0$,当 $a > 0$ 时有 $f(x_1) < 0$.
  
  当 $a < - 1$ 时, 容易验证有不等式 $\sqrt{1 + r} \leqslant 1 + \frac{r}{2}$,且等号仅在 $r = 0$ 时取得,所以有
  \begin{eqnarray*}
    \frac{2}{3} (a + 1) \left( a + \sqrt{a^2 + a} \right) + \frac{1}{3} a + 1
    & = & - \frac{2}{3} a (a + 1) \left( - 1 + \sqrt{1 + \frac{1}{a}} \right)
    + \frac{1}{3} a + 1\\
    & > & - \frac{2}{3} a (a + 1) \left( - 1 + 1 + \frac{1}{2 a} \right) +
    \frac{1}{3} a + 1\\
    & = & \frac{2}{3} > 0
  \end{eqnarray*}
  从而 $f (x_2) > 0$.
  
  当 $a > 0$ 时, 有
  \begin{eqnarray*}
    \frac{2}{3} (a + 1) \left( a - \sqrt{a^2 + a} \right) + \frac{1}{3} a + 1
    & = & \frac{2}{3} (a + 1) \frac{- a}{a + \sqrt{a^2 + a}} + \frac{1}{3} a +
    1\\
    & > & \frac{2}{3} (a + 1) \cdot \frac{- a}{2 a} + \frac{1}{3} a + 1\\
    & = & \frac{2}{3} > 0
  \end{eqnarray*}
  从而 $f (x_1) < 0$.
  
  综上,结论得证.
作者: zhcosin    时间: 2018-6-8 20:58

还是那句话,打死不分参,打死不分参,打死不分参。。。
作者: kuing    时间: 2018-6-8 21:00

不是说好了导出代码的咩
如果是嫌细节修改麻烦,我可以帮你弄
作者: zhcosin    时间: 2018-6-8 21:44

回复 3# kuing

生成那代码那质量之丑,多行公式是 eqnarray
等会我弄代码
作者: kuing    时间: 2018-6-8 21:45

回复 4# zhcosin

发来看看,我试试能否批量修改
作者: isee    时间: 2018-6-8 21:53

分成1/a=……然后部分分式化成二次函数也行,虽然楼主不分参,楼主偏向虎山行
作者: kuing    时间: 2018-6-8 22:44

看到代码了。
咦?MathJax 显示的 eqnarray 居然是不难看的,那看来也不用怎么改了
作者: zhcosin    时间: 2018-6-8 22:46

回复 7# kuing
就是这个换行。。。。
作者: isee    时间: 2018-6-8 22:47

回复 1# zhcosin


这多清爽,,,为楼主点赞
作者: isee    时间: 2018-6-8 22:49

回复 7# kuing

eqnarray 这样一看,还强些啊,虽然我没用过
作者: zhcosin    时间: 2018-6-8 22:51

TeXmacs 大法好。。。
作者: isee    时间: 2018-6-8 22:52

回复 11# zhcosin


得,我就不提TeXLive法力大
作者: zhcosin    时间: 2018-6-8 22:54

说实话,一个文科的题目做成这样复杂,是有点那啥的。。。
作者: isee    时间: 2018-6-8 22:57

回复 13# zhcosin

自娱自乐,你高兴就好,这也具一般性,只是数据不好看而已。
3次函数只有一个零点问题,kuing 在论坛也讨论过一般情况,式子复杂。。。
作者: isee    时间: 2018-6-8 23:01

说实话,一个文科的题目做成这样复杂,是有点那啥的。。。
zhcosin 发表于 2018-6-8 22:54


一般化,反正要算,直接一般化,by kuing 24楼

PS:高考之前人说3次函数基本绝迹了,这会考,之后又会兴盛了
作者: kuing    时间: 2018-6-8 23:26

回复  kuing
就是这个换行。。。。
zhcosin 发表于 2018-6-8 22:46

换行问题确实有点麻烦,我用winedt也要用三步替换才能处理好。

在 winedt 中,按 Ctrl+R ,勾上正则表达式后:
一、 >> 替换为 >>>
二、 $\verb"\({\\\[@ }|{\\\]@ }|{\\begin*\}@ }|{\\end*\}@ }|{\\\\@ }\)"$ 替换为 >\0>
三、 >~{>} 替换为空

替换后的文本: 替换后.txt (3.72 KB)

附件: 替换后.txt (2018-6-8 23:37, 3.72 KB) / 下载次数 3504
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=6315&k=a962ba6e9e9cad0dede8be8fa23f8873&t=1711647523&sid=88J45T
作者: zhcosin    时间: 2018-6-9 17:07

回复 16# kuing

正则表达式都出来了,niubility
作者: isee    时间: 2018-6-9 17:55

回复 16# kuing


一直没明白正则到底是什么规律
作者: zhcosin    时间: 2018-6-9 20:56

回复 18# isee
这有啥不明白的,就是模式匹配,我能说我在 emacs 里,敲一条替换命令,就能把全文的日期时间更改一下格式么?
作者: realnumber    时间: 2018-6-9 21:57

还是那句话,打死不分参,打死不分参,打死不分参。。。
zhcosin 发表于 2018-6-8 20:58

分离参数明明很简单,
作者: zhcosin    时间: 2018-6-10 11:51

回复 20# realnumber
我当时预见到分参后求导会比较麻烦,就直接放弃了。
作者: realnumber    时间: 2018-6-10 12:12

还是写下
考虑$\frac{1}{3}x^3=a(x^2+x+1)$的零点个数
若a=0,则有唯一零点x=0
若a≠0,则x=0不是零点,按6楼办法分离参数,并令$\frac{1}{x}=t$
$\frac{1}{3a}=t^3+t^2+t=g(t),g'(t)=3t^2+2t+1>0$,y=g(t)单调递增即对任意给定的a,都有唯一的t与它对应,而每一t也是有唯一的x与它对应.
作者: 敬畏数学    时间: 2018-6-10 12:51

本帖最后由 敬畏数学 于 2018-6-10 13:05 编辑

回复 22# realnumber
此解法简洁明了。直截了当。不过说回来,这些都是套路题,难道只能玩这些了吗?难怪很多人都哈哈哈哈。哎。。。。




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