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标题: [几何] 2018年全国卷I理科第12题 平面截正方体与棱成角均相同 [打印本页]

作者: isee    时间: 2018-6-7 21:26     标题: 2018年全国卷I理科第12题 平面截正方体与棱成角均相同

本帖最后由 isee 于 2018-6-21 15:03 编辑

第一眼看过去,想到体对角面但不符合题设,难道是截出个正六边形?嘿,还真有这个结果,猜A先。


文字版

12.已知正方体的棱长为$1$,每条棱所在直线与平面$\alpha$所成的角相等,则$\alpha$截此正方体所得截面面积的最大值为
选项略

图片附件: 12.png (2018-6-7 21:26, 37.14 KB) / 下载次数 1450
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=6276&k=795bedf17e1c7e8e6f82aed45a1976d6&t=1711726237&sid=41T5e1


作者: kuing    时间: 2018-6-7 21:29

嗯,中间时最大
这也算是简单题了,因为就算不会证也会猜
作者: isee    时间: 2018-6-7 21:34

本帖最后由 isee 于 2019-5-15 16:31 编辑

回复 2# kuing


我信你的直觉,

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2019年5月15号更新

2018年全国1卷理科数学第12题详细解析

2018高考数学全国卷I,第12题
作者: kuing    时间: 2018-6-7 21:35

回复 3# isee

印象中,六边形那个过程中,周长好像是不变的,如果没记错,那么可不可以说由等周定理得出正六边形时最大
作者: isee    时间: 2018-6-7 21:47

回复 4# kuing

否则,极麻烦。
作者: 乌贼    时间: 2018-6-7 22:42

平面$a$必与对角棱垂直,当截面为正六边形时\[S=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\]
211.png
2018-6-7 22:41


图片附件: 211.png (2018-6-7 22:41, 20.03 KB) / 下载次数 1418
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=6281&k=3b0bc8955109be42f0a8742d43a4708a&t=1711726237&sid=41T5e1


作者: isee    时间: 2018-6-7 23:45

回复 4# kuing

可能这就是题中各棱与面的成角的用法:对称拉直。
作者: Tesla35    时间: 2018-6-8 00:17

https://zhuanlan.zhihu.com/p/37822112
作者: isee    时间: 2018-6-9 23:01

本帖最后由 isee 于 2018-6-9 23:36 编辑

回复 6# 乌贼


看了这图,也就是说平面$ACD'$是满足题设的一个平面,然后将此平面平移。
平移过程设变量,就可求出面积最大值。

那么,如何肯定这样的平面仅有这样的一类呢(棱与面成角为x度)?
作者: 乌贼    时间: 2018-6-10 01:27

回复 9# isee
选择题可以这样作
作者: lemondian    时间: 2018-11-8 17:30

回复 4# kuing
六边形的周长恒等于正三角形的周长,请问如何用等周定理说明是正六边形时面积最大?@kuing,isee等




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