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标题: [几何] 来自减压群的圆外一点作两垂线求四边形最大面积 [打印本页]

作者: kuing 时间: 2018-2-28 15:43 标题: 来自减压群的圆外一点作两垂线求四边形最大面积

生如夏花(2365*****) 10:56:18

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2018-2-28 15:43

@大色k 15题，应该可以直接用扫过面积的运动法，快速判断出AB=CD时，取到最大值么？

运动法我觉得这个四边形变化的东东太多，不太好说明增减，猜答案尚可，证明还是算了。

还是来写个常规方法吧，反正也是简单的。

首先说明一下，这题其实应该交待清楚ABCD的位置，或者配个图，
否则，字母这样标
QQ截图20180228152437.png

也是说得过去的，因为你也没说ABCD必须是凸四边形，交叉的四边形也算是四边形，而且也有面积。

现在就按命题者的原意来画，并过圆心作两直线的垂线，如下图。

QQ截图20180228154514.png

则有
\begin{align*}
S&=\frac 12PB\cdot PC-\frac 12PA\cdot PD\\
&=\frac 12(PE+EB)(PF+FC)-\frac 12(PE-EB)(PF-FC)\\
&=PE\cdot FC+PF\cdot EB\\
&\leqslant \sqrt {(PE^2+PF^2)(FC^2+EB^2)}\\
&=\sqrt {(PE^2+PF^2)(r^2-OF^2+r^2-OE^2)}\\
&=OP\sqrt {2r^2-OP^2},
\end{align*}
当 $AB=CD$ 时取等。

图片附件: QQ截图20180228151723.jpg (2018-2-28 15:43, 11.1 KB) / 下载次数 1580
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http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5907&k=049e4fef772f2f48c9a584d9cd4684a9&t=1713594983&sid=cQCD8P

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作者: 其妙 时间: 2018-3-3 10:23

将P点改在圆内的，例如P（1,1），其余不变，求ABCD面积最大值

作者: 色k 时间: 2018-3-3 11:36

回复 2# 其妙

那就是FAQ了

作者: 其妙 时间: 2018-3-4 13:41

将P点改在圆内的，例如P（1,1），其余不变，求ABCD面积最大值
其妙发表于 2018-3-3 10:23

继续改，将P点改在椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$内的，其余不变，求ABCD面积最大值

作者: isee 时间: 2018-3-4 14:51

回复 4# 其妙

这就很“闲”——（有仿射为依据，圆透就椭圆通）——了，除非你的结论非常优美。

作者: kuing 时间: 2018-3-4 15:05

回复 5# isee

不通不通，仿射改变垂直。

作者: isee 时间: 2018-3-4 16:02

回复 6# kuing

但面积（比）是不变量，高等几何里多半有公式可套。。。。。至少何时最大，再说，哈哈。。。。

作者: 其妙 时间: 2018-3-12 17:53

某网友的，将就看

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