悠闲数学娱乐论坛(第2版) - Powered by Discuz! Board

繁體 | 簡體

Sclub交友聊天~加入聊天室當版主

(檢舉)

新浪微博

QQ空间

Facebook

Google+

Plurk

Twitter

Line

标题: [数论] 下列哪一個方程式有最大實根 [打印本页]

作者: ta5607 时间: 2018-2-11 11:27 标题: 下列哪一個方程式有最大實根

本帖最后由 ta5607 于 2018-2-11 11:28 编辑

考完AMC12後還是有兩題想不透 QQQ
求解~謝謝啦 !

下列哪一個方程式有最大實根
(A)$x^{19}+2018x^{11}+1=0$
(B)$x^{17}+2018x^{11}+1=0$
(C)$x^{19}+2018x^{13}+1=0$
(D)$x^{17}+2018x^{13}+1=0$
(E)$2019x+2018=0$

對於正整數n及非零的數字a，b，c，令$A_{n}$為n位數，他每一位數的數字都是a；$B_{n}$為n位數，他每一位數的數字都是b；$C_{n}$為2n位數，他每一位數的數字都是c。試問若至少存在兩個n滿足$C_{n}-B_{n}=A_{n}^{2}$，則a+b+c最大可能值為多少
(A)12
(B)14
(C)16
(D)18
(E)20

作者: realnumber 时间: 2018-2-11 13:59

第一个是B,
理由E这根接近-1，B的根接近-0.5，也可以把-2017/2018代入BE来排除E
ABCD左边构造函数，求导后说明在x<0时，函数单调递增。又-1代入都小于0，0代入大于0，设方程B的根为t（即$t^{17}+2018t^{11}+1=0$,-1<t<0）,把t代入ACD左边，比如A的左边，这样$t^{17}t^2+2018t^{11}+1>0$,说明A的根在(-1,t)内

作者: ta5607 时间: 2018-2-11 14:27

回复 2# realnumber

了解了，謝謝
那第二題呢 ?

作者: isee 时间: 2018-2-11 15:07

AMC12
全美数学竞赛12（The American Mathematics Competition 12

作者: kuing 时间: 2018-2-11 15:09

“下列哪一個方程式有最大實根”是不是说成“下列哪一個方程的實根最大”才是？

作者: realnumber 时间: 2018-2-11 15:12

本帖最后由 realnumber 于 2018-2-11 15:56 编辑

第二题，也许需要程序辅助，我也不会，
88-7=9^2,7+8+9=24，要证明7,8,9再无对应的解？
66-2=8^2
55-6=7^2 ，5+6+7=18
44-8=6^2 ,4+8+6=18 看来只要考察20就够了，再想想---(这里想歪了，还是看9楼吧)

作者: realnumber 时间: 2018-2-11 15:20

回复 5# kuing

也许楼主用英语说中文

？

作者: realnumber 时间: 2018-2-11 15:25 标题: ？

本帖最后由 realnumber 于 2018-2-11 15:27 编辑

20=9+9+2=9+8+3=9+7+4=9+6+5=8+8+4=8+7+5=8+6+6
=7+7+6
比如第一个9，9，2，显然不会有，这些都可以排除掉吧，好像没问题了？
那么最大是18（

很不负责）

作者: kuing 时间: 2018-2-11 15:52

易证
\[C_n-B_n-A_n^2=-\frac 1{81}(10^n-1)\bigl((a^2-9c)10^n-a^2+9b-9c\bigr),\]
那么至少存在两个 $n$ 使 $C_n-B_n=A_n^2$ 等价于
\[a^2-9c=-a^2+9b-9c=0,\]
易知只有两解：$a=3$, $b=2$, $c=1$ 以及 $a=6$, $b=8$, $c=4$。

作者: kuing 时间: 2018-2-11 16:02

回复 9# kuing

而且很容易知道，当 $n\geqslant3$ 时除了上述两个解之外就再无其他解。

作者: ta5607 时间: 2018-2-11 16:21

回复 5# kuing

考卷上真的這樣寫 QQ

图片附件: 27951023_2003300313292197_46642540_oo.jpg (2018-2-11 18:04, 52.49 KB) / 下载次数 962
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5866&k=90371be1a7abb6925780430006ae6de0&t=1713535106&sid=P057p1

作者: 其妙 时间: 2018-2-12 23:55

回复 11# ta5607
台湾的题目

欢迎光临悠闲数学娱乐论坛(第2版) (http://kuing.orzweb.net/)