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标题:
一个没见过的 Cauchy 恒等式
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作者:
poorich
时间:
2017-9-8 02:30
标题:
一个没见过的 Cauchy 恒等式
本帖最后由 poorich 于 2017-9-8 02:34 编辑
在徐利治《数学分析的方法及例题选讲 (修订版)》上第二章做到的,它放在 Jacobi 恒等式(124题)
\[\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}z^{-1})(1-q^{2n})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}z^n \quad (\abs{q}<1)\]
的后面,书上的 Cauchy 恒等式(131题)应该是写错了:
\[\prod_{n=1}^m (1+x^{2n-1}z)=1
+\sum_{n=1}^m\frac{(1-x^{2m})(1-x^{2m-2})\dotsm(1-x^{2m-2n+2})}{(1-x^{2})(1-x^{4})\dotsm(1-x^{2n})}.
\]
感觉少了和 $z$ 相关的什么。查了一下老的版本,是写作
\[
\prod_{n=1}^m (1+x^{2n-1}z)=1
+\sum_{n=1}^m\frac{(1-x^{2m})(1-x^{2m-2})\dotsm(1-x^{2m-2n+2})}{(1-x^{2})(1-x^{4})\dotsm(1-x^{2n})}x^{n^2}z^n.
\]
问问大家怎么证明?
作者:
zhcosin
时间:
2017-9-8 10:25
修订版嘛,也没规定说只能把错的改对,不能把对的改错呀
作者:
青青子衿
时间:
2021-5-10 11:21
Excursions in Classical Analysis: Pathways to Advanced Problem Solving and Undergraduate Research
Hongwei Chen
Mathematical Association of America, 2010年
2021-5-10 11:20
图片附件:
426725725.png
(2021-5-10 11:20, 138.62 KB) / 下载次数 665
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=9652&k=b07b57278218b099a765732372f1f198&t=1711724147&sid=3hedzD
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