免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
Board logo

标题: 微积分与数学分析学习帖 [打印本页]

作者: zhcosin    时间: 2017-6-15 12:45     标题: 微积分与数学分析学习帖

本帖最后由 zhcosin 于 2018-1-21 22:33 编辑

高等数学版块比较冷清,我来开个帖子自娱自乐吧,随时写点微积分的学习笔记什么的。PDF 文件发布在 https://coding.net/u/zhcosin/p/math-notes-publish/git/blob/master/calculus-note.pdf

参考书:
1. 华东师范大学数学系《数学分析》(上、下) 高等教育出版社
2. [前苏联]菲赫金哥尔茨 《微积分学教程》(三卷本) 高等教育出版社
3. 华罗庚. 高等数学引论(共四册). 高等教育出版社.
4. [美]约翰 柯朗 微积分与数学分析引论. 科学出版社.
5. [前苏联]吉米诺维奇 数学分析习题集. 高等教育出版社.
作者: zhcosin    时间: 2017-6-20 17:59

可以得反常积分来判别一类正项级数的敛散性.
积分判别法 若可积函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上恒取非负值且单调递减,则反常积分$\int_0^{+\infty}f(x)dx$与级数$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$有相同的敛散性。

证明  令$S_n=\sum_{i=1}^nf(i)$,$I_n=\int_0^nf(x)dx$,则$S_n$和$I_n$都是单调增加的数列,又
  \[ I_n=\sum_{i=1}^n\int_{i-1}^if(x)dx \]
  由单调性,有
  \[ \sum_{i=1}^nf(i) \leqslant I_n \leqslant \sum_{i=1}^nf(i-1) \]
  即
  \[ S_n \leqslant I_n \leqslant f(0)+S_{n-1} \]
  可见,如果级数$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$收敛,则$S_n$有极限$S$,则$I_n$单调增加并有上界$f(0)+S$,因而$I_n$有极限(不一定是$S$),即反常积分$\int_{i=1}^{+\infty}f(x)dx$收敛。反之,如果反常积分收敛,则$I_n$有极限$I$,这时$S_n$单调增加并有上界$I$,因此$S_n$收敛,即级数$\sum_{i=1}^{\infty}f(n)$收敛。

需要说明的是,上述定理中的区间可以是任意的左闭右开区间$[a,+\infty)$,这时级数只要从大于$a$的任一正整数开始即可,从定理证明过程可以看出这并没有什么影响。

  对于正实数$p$,考虑如下的级数
  \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} \]
  对应的函数$f(x)=1/x^p$在$[1/2,+\infty)$上单调递减,由于$p>1$时反常积分$\int_1^{+\infty}f(x)dx$收敛,所以此时级数也收敛,在$p \leqslant 1$时反常积分是发散的,所以此时级数也是发散的。
作者: zhcosin    时间: 2017-6-26 15:27

懒得弄代码了,复制过来还要改来改去的,直接截图算了。
1.png
2017-6-26 15:26


图片附件: 1.png (2017-6-26 15:26, 74.94 KB) / 下载次数 12
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5145&k=db5c119e398521c6b881131e6672f66b&t=1534394282&sid=385yB9


作者: zhcosin    时间: 2017-9-19 13:51

极限部分的大纲,内容待完善.
111.png
2017-9-19 13:50


图片附件: 111.png (2017-9-19 13:50, 99.78 KB) / 下载次数 12
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5324&k=75eb7d0a13ca050db46150e0c57b901d&t=1534394282&sid=385yB9


作者: zhcosin    时间: 2017-9-19 19:58

补充了复数基础:
1.png
2017-9-19 19:58

2.png
2017-9-19 19:58

3.png
2017-9-19 19:58

4.png
2017-9-19 19:58

5.png
2017-9-19 19:58

6.png
2017-9-19 19:58


图片附件: 1.png (2017-9-19 19:58, 143.23 KB) / 下载次数 12
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5329&k=b90510126b7781bad4f3dc2e33b35af9&t=1534394282&sid=385yB9



图片附件: 2.png (2017-9-19 19:58, 95.3 KB) / 下载次数 12
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5330&k=cb00a75f4630daa329d4dd5c52d8ec42&t=1534394282&sid=385yB9



图片附件: 3.png (2017-9-19 19:58, 32.77 KB) / 下载次数 12
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5331&k=8ebb4eff25cbecb1ca95173face5cc22&t=1534394282&sid=385yB9



图片附件: 4.png (2017-9-19 19:58, 86.7 KB) / 下载次数 12
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5332&k=2dfba5c546a3a6c87d8212484d5ffdd5&t=1534394282&sid=385yB9



图片附件: 5.png (2017-9-19 19:58, 41.32 KB) / 下载次数 12
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5333&k=642ef312fda990ad9c965264d9e57b62&t=1534394282&sid=385yB9



图片附件: 6.png (2017-9-19 19:58, 55.54 KB) / 下载次数 12
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5334&k=037ff95bad70f87a164d2c2129feb5f6&t=1534394282&sid=385yB9


作者: zhcosin    时间: 2017-9-25 18:52

1.png
2017-9-25 18:52


图片附件: 1.png (2017-9-25 18:52, 54.44 KB) / 下载次数 12
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5375&k=05528510fa3bf242660a9b2bf2c00e01&t=1534394282&sid=385yB9


作者: 力工    时间: 2017-9-27 08:28

回复 6# zhcosin
出版,出版!
作者: zhcosin    时间: 2017-9-27 11:41

回复 7# 力工
个人笔记而已,没有出版价值,微积分领域的权威教材多的是。
作者: zhcosin    时间: 2017-9-30 16:17

1.png
2017-9-30 16:16

2.png
2017-9-30 16:16

3.png
2017-9-30 16:17

4.png
2017-9-30 16:17

5.png
2017-9-30 16:17

7.png
2017-9-30 16:17

6.png
2017-9-30 16:17

8.png
2017-9-30 16:17

9.png
2017-9-30 16:17

10.png
2017-9-30 16:17


图片附件: 1.png (2017-9-30 16:16, 46.86 KB) / 下载次数 11
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5393&k=f24e95813f7fe8e24d43b73b5900f14c&t=1534394282&sid=385yB9



图片附件: 2.png (2017-9-30 16:16, 64.78 KB) / 下载次数 11
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5394&k=16d170265da6b19ac6d3ee856836f28a&t=1534394282&sid=385yB9



图片附件: 3.png (2017-9-30 16:17, 44.83 KB) / 下载次数 11
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5395&k=9190a587852c2153a6b4bcbb1a6a8ded&t=1534394282&sid=385yB9



图片附件: 4.png (2017-9-30 16:17, 76.03 KB) / 下载次数 11
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5396&k=1c9e5ab09d61ae238e01d5b82ba33757&t=1534394282&sid=385yB9



图片附件: 5.png (2017-9-30 16:17, 73.13 KB) / 下载次数 11
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5397&k=4de4aa5a248259a93d303c40a4ca48e6&t=1534394282&sid=385yB9



图片附件: 6.png (2017-9-30 16:17, 46.11 KB) / 下载次数 11
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5398&k=9572f07e8faac2e4d9db8d62bc0565d5&t=1534394282&sid=385yB9



图片附件: 7.png (2017-9-30 16:17, 53.35 KB) / 下载次数 11
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5399&k=150fb8c0e20c769b67827d5cc2197f46&t=1534394282&sid=385yB9



图片附件: 8.png (2017-9-30 16:17, 95.11 KB) / 下载次数 11
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5400&k=cf011f340e476292fc95e92a349bad41&t=1534394282&sid=385yB9



图片附件: 9.png (2017-9-30 16:17, 43.12 KB) / 下载次数 11
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5401&k=4a96ad11fab1fd29c53143ced68bde7e&t=1534394282&sid=385yB9



图片附件: 10.png (2017-9-30 16:17, 73.86 KB) / 下载次数 11
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5402&k=31f6904929f18d9c9d565ab59e328687&t=1534394282&sid=385yB9


作者: zhcosin    时间: 2018-2-9 16:43

进行到一元函数微分学部分了哎....
1.png
2018-2-9 16:42

2.png
2018-2-9 16:43

3.png
2018-2-9 16:43

4.png
2018-2-9 16:43


图片附件: 1.png (2018-2-9 16:42, 104.26 KB) / 下载次数 11
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5832&k=8f7e4919c90ece5cfe250c7f3fe714f1&t=1534394282&sid=385yB9



图片附件: 2.png (2018-2-9 16:43, 104.32 KB) / 下载次数 11
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5833&k=53847d0eeb732d1ff9e46418cfc3cec2&t=1534394282&sid=385yB9



图片附件: 3.png (2018-2-9 16:43, 50.49 KB) / 下载次数 11
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5834&k=58bd9b7aa0f4e27958d2f4aaeb05c1de&t=1534394282&sid=385yB9



图片附件: 4.png (2018-2-9 16:43, 78.74 KB) / 下载次数 11
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=5835&k=5643f6425db26c1de1abfd2b72be74f3&t=1534394282&sid=385yB9






欢迎光临 悠闲数学娱乐论坛(第2版) (http://kuing.orzweb.net/) Powered by Discuz! 7.2