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标题:
这个级数如何计算?
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作者:
dim
时间:
2016-5-11 00:11
标题:
这个级数如何计算?
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2016-5-11 00:10
我的两种思路如上。似乎这种级数还可以推广到奇数次?求大神指教,谢谢!
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级数.png
(2016-5-11 00:10, 75.62 KB) / 下载次数 428
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=4055&k=f2bb420970326e80b4925b9b3970f3f8&t=1713604412&sid=uh770U
作者:
战巡
时间:
2016-5-11 02:17
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1#
dim
令$f(x)=x^3,-\pi\le x\le \pi$
对$f(x)$傅里叶展开得到
\[f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(kx)}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^3\sin(kt)dt=\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{12}{k^3}-\frac{2\pi^2}{k})(-1)^{k}\sin(kx)\]
带入$x=\frac{\pi}{2}$,有
\[\frac{\pi^3}{8}=\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{12}{k^3}-\frac{2\pi^2}{k})(-1)^{k}\sin(\frac{k\pi}{2})=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}(\frac{12}{(2k-1)^3}-\frac{2\pi^2}{2k-1})=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\frac{12}{(2k-1)^3}+\frac{\pi^3}{2}\]
\[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^3}=\frac{1}{12}(\frac{\pi^3}{2}-\frac{\pi^3}{8})=\frac{\pi^3}{32}\]
作者:
dim
时间:
2016-5-11 23:32
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2#
战巡
谢谢大神!还没学傅里叶,以后回头看。我想知道我的方法行得通吗
作者:
战巡
时间:
2016-5-12 02:12
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3#
dim
第一种我没试过,可能可行
第二种是不行的,这是耍赖,虽然当年欧拉用过类似的方法来证明$\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$,但严格来讲是耍流氓,非常不严谨
这一类级数的很多都可以由自傅里叶级数得出
作者:
dim
时间:
2016-5-12 23:39
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4#
战巡
好的,知道了,谢谢你!
作者:
青青子衿
时间:
2018-7-10 13:50
我的两种思路如上。似乎这种级数还可以推广到奇数次?求大神指教,谢谢! ...
dim 发表于 2016-5-11 00:11
有挺多方法的
http://tieba.baidu.com/p/4428450841
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