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标题: [几何] 昨晚人教群的几何坑题 [打印本页]

作者: kuing 时间: 2015-6-27 17:17 标题: 昨晚人教群的几何坑题

粤A学生呆呆(1120******) 22:27:32
有三角函数的题吗
鄂L教师yuzi(5755*****) 22:28:15
有
鄂L教师yuzi(5755*****) 22:29:59

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2015-6-27 17:14

粤A学生呆呆(1120******) 22:31:24
不要这么复杂的好吗，要些经典的，现在复习啊

初看好像不难，但玩下去发现是个坑。

QQ截图20150627143229.gif

如上图，当 $A$ 固定时，$D$ 的轨迹为一段圆弧，若向外作等边 $\triangle ACE$，则 $E$ 为其圆心，此时 $BD$ 的最大值为 $BE+ED$，即 $BE+EC$，所以问题等价于当 $A$ 运动时求 $BE+EC$ 的最大值。

QQ截图20150627143905.gif

由于 $A$ 的轨迹为一段圆弧，而 $E$ 乃 $A$ 绕 $C$ 顺时针旋转 $60\du$ 所得，因此 $E$ 的轨迹也为一段圆弧，如上图。

所以问题等价于圆弧上的动点 $E$ 到两定点 $B$, $C$ 的距离和的最大值。

这类问题除特殊数据外都逃不过高次方程，下面来试试。

QQ截图20150627171425.gif

首先明确一下取最大值时的特性，设 $E$ 的轨迹弧的圆心为 $F$，如上图，根据速度分解，可知 $BE+CE$ 取最大值时必然是当 $EF$ 为 $\angle BEC$ 的角平分线时。
（如果不理解速度分解，也可以这样想：当 $BE+CE$ 取最大值时为以 $B$, $C$ 为焦点且过 $E$ 的椭圆与圆相切于点 $E$，再由光学性质知 $EF$ 为角平分线）

为了方便起见，这里我将 $BC=1$ 改为 $BC=2$，这样能使计算中减少一些分数。

建系，使 $C$ 为原点且 $B(-2,0)$，那么 $A$ 所在圆的圆心为 $(-1,1)$，设 $F(m,n)$，根据旋转公式，可知
\[m=\frac{\sqrt3-1}2,n=\frac{\sqrt3+1}2,\]
设 $E(x,y)$，则 $(x-m)^2+(y-m)^2=m^2+n^2$，即
\[x^2-\bigl(\sqrt3-1\bigr)x+y^2-\bigl(\sqrt3-1\bigr)y=0,\]
当 $EF$ 为角平分线时，由倒角公式知
\[\frac{k_{EC}-k_{EF}}{1+k_{EC}k_{EF}}
=\frac{k_{EF}-k_{EB}}{1+k_{EF}k_{EB}},\]
这时候我们应该开挂了，代入数据化简整理得
\[x^3-x^2y+x^2+xy^2-2x-y^3+3y^2
+(x^3-x^2y+2x^2+xy^2-2xy-y^3+2y^2-2y)\sqrt3=0,\]
所以取大值时 $E(x,y)$ 满足
\[\led
&x^2-\bigl(\sqrt3-1\bigr)x+y^2-\bigl(\sqrt3-1\bigr)y=0,\\
&x^3-x^2y+x^2+xy^2-2x-y^3+3y^2
+(x^3-x^2y+2x^2+xy^2-2xy-y^3+2y^2-2y)\sqrt3=0,
\endled\]
结式消元可得
\[\led
&\bigl(4+2\sqrt3\bigr)x^3-2\sqrt3x^2
+\bigl(-1-5\sqrt3\bigr)x-\sqrt3+4=0,\\
&\bigl(4+2\sqrt3\bigr)y^3+\bigl(-14-8\sqrt3\bigr)y^2
+\bigl(11+7\sqrt3\bigr)y+1=0,
\endled\]
这个次数比预想中要低（可能是因为有一个点在圆上的原因），可以代卡当公式去解，然后就可以得到最值。

这里我们先不解，直接设 $BE+CE$ 的最大值为 $2a$（那么 $a$ 就是原题的答案），则
\[\led
&x^2-\bigl(\sqrt3-1\bigr)x+y^2-\bigl(\sqrt3-1\bigr)y=0,\\
&x^3-x^2y+x^2+xy^2-2x-y^3+3y^2
+(x^3-x^2y+2x^2+xy^2-2xy-y^3+2y^2-2y)\sqrt3=0,\\
&\frac{(x+1)^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-1}=1,
\endled\]
结式消元后可得
\begin{align*}
&1552 a^{24}-57312 a^{22}+834784 a^{20}-6240944 a^{18}+26449920 a^{16}-66378960 a^{14}\\
&+99643704 a^{12}-87798912 a^{10}+42791908 a^8-10046756 a^6+802320 a^4-1268 a^2+1\\
&+(896 a^{24}-33088 a^{22}+481952 a^{20}-3603152 a^{18}+15270672 a^{16}-38323488 a^{14}\\
&+57528720 a^{12}-50690152 a^{10}+24705544 a^8-5800332 a^6+463172 a^4-724 a^2)\sqrt{3}=0,
\end{align*}
移项平方分解得
\begin{align*}
&(4 a^{12}-88 a^{10}+628 a^8-1928 a^6+2602 a^4-1218 a^2+1)\\
&\times(4 a^{12}-24 a^{10}+52 a^8-56 a^6+34 a^4-10 a^2+1)\\
&\times(16 a^{24}-512 a^{22}+6688 a^{20}-46752 a^{18}+191552 a^{16}-472976 a^{14}\\
&+700856 a^{12}-614336 a^{10}+322876 a^8-104832 a^6+18896 a^4-1308 a^2+1)=0,
\end{align*}
通过数值比较，取最大值时的 $a$ 应该是 $4 a^{12}-88 a^{10}+628 a^8-1928 a^6+2602 a^4-1218 a^2+1=0$ 的其中一个根，其近似值为 $3.42558$，这就是原题的答案。

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http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=2974&k=7a4818dcf756c2b1b7e8180ba0077e1b&t=1713572365&sid=260Eu2

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作者: kuing 时间: 2015-6-27 18:22

O，原来最后不有理化也可以分解，倒数第二个长串式子可以分解为
\begin{align*}
&\bigl(-97-56 \sqrt{3}\bigr) \Bigl(-2 a^6+\bigl(6+2 \sqrt{3}\bigr) a^4+\bigl(-7-3 \sqrt{3}\bigr) a^2+\sqrt{3}+2\Bigr)\\
&\times\Bigl(-2 a^6+\bigl(22+2 \sqrt{3}\bigr) a^4+\bigl(9 \sqrt{3}-39\bigr) a^2-15 \sqrt{3}+26\Bigr) \\
&\times\Bigl(-4 a^{12}+\bigl(64+8 \sqrt{3}\bigr) a^{10}+\bigl(-348-76 \sqrt{3}\bigr) a^8+\bigl(732+208 \sqrt{3}\bigr) a^6\\
&+\bigl(-508-154 \sqrt{3}\bigr) a^4+\bigl(90+2 \sqrt{3}\bigr) a^2+4 \sqrt{3}-7\Bigr)=0,
\end{align*}
数值比较后取最大值时的 $a$ 为 $-2 a^6+\bigl(22+2 \sqrt{3}\bigr) a^4+\bigl(9 \sqrt{3}-39\bigr) a^2-15 \sqrt{3}+26=0$ 的一个根，于是，最终结果还是可以通过卡当公式来表示出来！

作者: 其妙 时间: 2015-6-27 18:28

意思是这题答案无法写出来？或者写出来但很繁琐？
这鱼子也真是，出道这么恶心的题！

反正鱼子也不常来，他看不到这帖子

作者: kuing 时间: 2015-6-27 18:35

经过软件化简，得出最终结果，最大值为
\[\sqrt{\frac{1}{3} \left(11+\sqrt{3}+\sqrt{262+142 \sqrt{3}} \cos\left(\frac{1}{3} \arctan\frac{3 \sqrt{3 \bigl(-50911103+72543684 \sqrt{3}\bigr)}}{192013}\right)\right)}\]

作者: kuing 时间: 2015-6-27 18:36

回复 3# 其妙

已经写出来了，因为后面已经全部开挂……

我会叫鱼子酱来看看的

作者: 战巡 时间: 2015-6-27 19:34

回复 4# kuing

[说得好像还有救一样表情]渣k太暴力了.....
昨天自从发现这个很坑以后就果断弃坑不管了

作者: yuzi 时间: 2015-6-27 21:25

我的天。。。。。

郑重声明：这样有水瓶的题，我是出不了的。。。。

作者: isee 时间: 2015-6-27 22:42

这道题给我的第一感觉是从某压轴题，变出来的，或者说是思考某个问题，想到的一种途径

作者: 其妙 时间: 2015-6-27 22:46

我的天。。。。。

郑重声明：这样有水瓶的题，我是出不了的。。。。 ...
yuzi 发表于 2015-6-27 21:25

果然把鱼子给引来了！
鱼子的帖子才6篇，怎么称得上扎克的粉丝？

作者: isee 时间: 2015-6-27 22:49

4楼几何法：http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=1521

此类题的推广之感

作者: nijupeng 时间: 2015-8-15 09:05

何必这么长篇大论，角CBA=角CAD，然后再算

作者: 色k 时间: 2015-8-15 10:12

何必这么长篇大论，角CBA=角CAD，然后再算
nijupeng 发表于 2015-8-15 09:05

你可以动笔写完全过程再说吗？

作者: nijupeng 时间: 2015-8-15 10:44

AD是圆ABC的切线。
最后是求这个单角度函数的极值：sqrt(2*sqrt(2)*sin(B)*sin(B+(5/12)*Pi)-2*cos(B)^2+3)+sqrt(2)*sin(B)

作者: kuing 时间: 2015-8-15 10:57

AD是圆ABC的切线。
最后是求这个单角度函数的极值：sqrt(2*sqrt(2)*sin(B)*sin(B+(5/12)*Pi)-2*cos(B)^2+3)+sqrt(2)*sin(B)
nijupeng 发表于 2015-8-15 10:44

那你求出来了吗？

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