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标题: [几何] 请教一个向量问题,先谢谢了! [打印本页]

作者: hongxian    时间: 2013-9-20 15:59     标题: 请教一个向量问题,先谢谢了!

设$P_1,P_2,\cdots P_n$是单位圆$O$内接正$n$边形的顶点,求证:$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}

\overrightarrow{OP_i}=\overrightarrow{0}$
作者: 其妙    时间: 2013-9-20 16:11

回复 1# hongxian
凭感觉就是对的,例如正偶数边形是显然正确。
作者: kuing    时间: 2013-9-20 16:11

将图形绕圆心旋转 $2\pi/n$ 度,与原图形重合,故和向量旋转后也应与未旋转前的原和向量相同,所以只能为 $\vv0$。

这句话是我以前在某群里讲过的,不过当时好像没被接受。
作者: 其妙    时间: 2013-9-20 16:16

回复 3# kuing
类似于复数的幅角,或者完全剩余系的理解,因为有个周期在里面。
作者: 其妙    时间: 2013-9-20 16:22

回复 4# 其妙
那就用复数来证明,不妨设是单位圆,那么每个顶点$P_k$表示的复数就是$1$的$n$次单位根(方程$x^n-1=0$的$n$个复数根),
当然,这要适当建立坐标系,使$P_1$表示的复数是$1$,
显然这$n$个单位根之和为$0$,(可用韦达定理证明)
作者: hongxian    时间: 2013-9-20 16:24

回复 3# kuing


    这个理解好,我个人还是能够接受的!
作者: 其妙    时间: 2013-9-20 16:43

这句话是我以前在某群里讲过的,不过当时好像没被接受。
kuing 发表于 2013-9-20 16:11

如果用复数来解释旋转,先建立坐标系使$P_1$对应复数1,即$P_k$对应复数$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$,
其中$\varepsilon_k=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{n},k=0,1,2,\cdots,n-1$,显然,$\varepsilon_1+\varepsilon_2+\cdots+\varepsilon_n=0$。
于是旋转$\dfrac{2k\pi}{n}$时,各点对应的复数就变为$\varepsilon_2,\varepsilon_3,\cdots,\varepsilon_n,\varepsilon_{1}$,此时,$\varepsilon_2+\varepsilon_3+\cdots+\varepsilon_n+\varepsilon_1=0$没有变化。
作者: 心语    时间: 2013-9-20 17:21

令ε1=1
因为ε2(ε1+ε2+⋯+εn)=ε2+ε3+⋯+εn+ε1,ε2不为0
所以ε1+ε2+ε3+⋯+εn=0
作者: kuing    时间: 2013-9-20 17:22

一样意思
作者: hongxian    时间: 2013-9-20 18:06

回复 8# 心语    

进一步代数化了!
作者: 其妙    时间: 2013-9-20 18:24

回复  hongxian
凭感觉就是对的,例如正偶数边形是显然正确。
其妙 发表于 2013-9-20 16:11

那就分奇偶来证明吧(需要用到正$n$边形是轴对称图形的知识):以下设$R,r$分别表示外接圆和内切圆的半径。
(1)当$n$是偶数的时候,对每一个向量$\overrightarrow{OP_k}$,都有一个向量$\overrightarrow{OP_m}=-\overrightarrow{OP_k}$,
      其中$(m=\dfrac{n+2}{2})$,此时需要定义$\overrightarrow{OP_{k+n}}=\overrightarrow{OP_{k}},k=1,2,3,\cdots,n$。
故$\overrightarrow{S}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}=-\displaystyle \sum_{m=1}^{n} \overrightarrow{OP_m}=-\overrightarrow{S}$,于是$2\overrightarrow{S}=\overrightarrow{0}$,即$\overrightarrow{S}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}=\overrightarrow{0}$。
(2)当$n$是奇数的时候,对每两个相邻向量的和$\overrightarrow{OP_k}+\overrightarrow{OP_{k+1}}$,都有一个向量$-\lambda\overrightarrow{OP_m}=(\overrightarrow{OP_k}+\overrightarrow{OP_{k+1}})$,
其中$m=\dfrac{2k+n+1}{2}$,且$\lambda=\dfrac{2r}{R}>0$。同样需要定义$\overrightarrow{OP_{k+n}}=\overrightarrow{OP_{k}},k=1,2,3,\cdots,n$。
于是,$2\overrightarrow{S}=2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (\overrightarrow{OP_k}+\overrightarrow{OP_{k+1}})=-\lambda\displaystyle \sum_{m=1}^{n} \overrightarrow{OP_m}=-\lambda\overrightarrow{S}$,$(2+\lambda)\overrightarrow{S}=\overrightarrow{0}$,
因为$\lambda=\dfrac{2r}{R}>0$,所以$\overrightarrow{S}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}=\overrightarrow{0}$。
作者: 其妙    时间: 2013-9-20 19:07

设$P_1,P_2,P_3,…,P_n$是圆$O$内接正$n$边形的顶点,$P$是圆$O$上的任意点,
求证:(1)$\vv{PP_1}+\vv{PP_2}+...+\vv{PP_n}$为定向量;
(2)$\vv{PP_1}^2+\vv{PP_2}^2+...+\vv{PP_n}^2$为定值。
题出对没有?
作者: kuing    时间: 2013-9-20 19:33

回复 12# 其妙

都写成 $\vv{PO}+\vv{OP_i}$ 就完了……
作者: 其妙    时间: 2013-9-20 19:54

不知道楼主的标准答案是什么?
作者: hongxian    时间: 2013-9-20 21:06

回复 14# 其妙


    自已想的一个题,没有什么标准答案!
作者: hongxian    时间: 2013-9-20 21:07

回复 12# 其妙


    用这个结论比较好证了!
作者: 其妙    时间: 2013-9-20 22:41

再用两种方法证明一下楼主的题目(看一下有无疑问):
设$\overrightarrow{S}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}$,则$\overrightarrow{S}\cdot\vv{OP_1}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}\cdot\vv{OP_1}=R^2\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \cos\dfrac{2k\pi}{n}=0$,
            (注意:这里有$\cos(\pi+\theta)=\cos(\pi-\theta$),还用了三角函数的性质).
于是$\overrightarrow{S}\cdot\vv{OP_1}=0$,同理,$\overrightarrow{S}\cdot\vv{OP_2}=0$,……,$\overrightarrow{S}\cdot\vv{OP_n}=0$,
以上各式相加得,$\overrightarrow{S}\cdot(\vv{OP_1}+\vv{OP_2}+\cdots+\vv{OP_n})=\vv S\cdot\vv S=0$,
故$\overrightarrow{S}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}=\overrightarrow{0}$。
      另外,可不可以这样做:
$\overrightarrow{S}\cdot\vv{OP_1}=|\overrightarrow{S}|\cdot|\vv{OP_1}|\cos(\overrightarrow{S},\vv{OP_1})=0$,故$|\overrightarrow{S}|\cdot|\cos(\overrightarrow{S},\vv{OP_1})=0$,也可得到$|\overrightarrow{S}|=0$或$\cos(\overrightarrow{S},\vv{OP_1})=0$,
其中$\cos(\overrightarrow{S},\vv{OP_1})=0$,可得$\overrightarrow{S}\perp\vv{OP_1}$,同理,$\overrightarrow{S}\perp\vv{OP_2}$,
看来只有$\overrightarrow{S}=\overrightarrow{0}$才可能使上述两式子成立、
作者: hongxian    时间: 2013-9-21 03:07

本帖最后由 hongxian 于 2013-9-21 05:12 编辑

回复 17# 其妙


    第一种比较严谨,好方法!
只是要想说明$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \cos\dfrac{2k\pi}{n}=0$难度不会比原题小吧!
作者: kuing    时间: 2013-9-21 03:14

回复 18# hongxian

你看得懂第二种么?我看不懂
作者: 其妙    时间: 2013-9-21 07:25

回复 19# kuing
看不懂什么?哪里看不懂?
作者: 爪机专用    时间: 2013-9-21 10:31

第一步就不懂
作者: 其妙    时间: 2013-9-21 15:28

回复 21# 爪机专用
(注意:这里用了$\cos(\pi+\theta)=\cos(\pi-\theta$),).
或者说用了$\cos \alpha=\cos(2\pi-\alpha$)的性质,
因为向量$\vv S=\vv {OP_1}+\vv {OP_2}+{\vv OP_3}+\cdots+\vv{ OP_n}$的每一个向量与$\vv{ OP_1}$的夹角依次为$0,\dfrac{2\pi}{n},\dfrac{4\pi}{n},\dfrac{6\pi}{n},\cdots,\dfrac{2k\pi}{n},\cdots,\dfrac{2(n-1)\pi}{n}$,
注意:向量夹角$\alpha$超过了$\pi$,我们用$2\pi-\alpha$替换,而余弦值不变。因为$\cos \alpha=\cos(2\pi-\alpha$)
不知解释的对不对?
作者: hongxian    时间: 2013-9-21 18:09

回复 22# 其妙

$\cos \alpha=\cos(2\pi-\alpha)$,只能说明$\cos \alpha+\cos(2\pi-\alpha)=2\cos\alpha$并不能说明其为$0$
作者: 其妙    时间: 2013-9-21 18:21

回复 23# hongxian
我的意思是,在计算数量积的时候向量的夹角$\alpha$可以超过$180^0$,因为$\cos\alpha=\cos(2\pi-\alpha)$
也就是说,在计算数量积的时候,向量的夹角是$\alpha$和$2\pi-\alpha$没有区别。
例如在计算数量积的时候,向量$\vv{OP_1}$和向量$\vv{OP_k}$的夹角是$\angle{P_1OP_k}=\dfrac{2(k-1)\pi}{n}$,它可能大于$\pi$,但是在计算数量积的时候,大于$\pi$也没关系,我们仍然把它当成广义的“夹角”,因为有公式$\cos\alpha=\cos(2\pi-\alpha)$作保证。
不知道我说明白没有?
作者: hongxian    时间: 2013-9-21 18:30

回复 24# 其妙


    超不超过$180^\circ$没有关系,关键是要把$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \cos\dfrac{2k\pi}{n}=0$说清楚,感觉不是太容易。
作者: 其妙    时间: 2013-9-21 18:55

回复 25# hongxian
那个是显然的噻,可以用裂项法,同时乘以$\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{n}}{\sin\dfrac{\pi}{n}}$,用积化和差即可裂项求和,和为零。
或者复数方法也是十分容易的,那$n$个单位根的实部之和为零,也就是是余弦值之和为零
作者: hongxian    时间: 2013-9-21 20:43

回复 26# 其妙


复数方程$x^n=1$的$n$个复数根之和为$0$,又一个不错的方法!
作者: kuing    时间: 2013-9-21 20:48

回复 27# hongxian

这个好像前面说了的……
作者: 其妙    时间: 2013-9-21 22:02

回复 28# kuing
是的,循环论证了
不过旨在说明我的那个结果不是错误的,,而一时又未寻找到好的恰当的方法,
作者: 心语    时间: 2013-9-21 23:31

论坛向量2.JPG
2013-9-21 23:30


图片附件: 论坛向量2.JPG (2013-9-21 23:30, 22.93 KB) / 下载次数 2583
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=468&k=dc44117d90c8395b5fd2c7dea7bf48a4&t=1711713403&sid=WJ3YcL


作者: 爪机专用    时间: 2013-9-21 23:58

本帖最后由 爪机专用 于 2013-9-22 00:01 编辑

回复 30# 心语

思想上其实还是差不多,用"均匀分布"得出方向不定, 本质上还是因为有对称性的缘故, 而且这样的说法可能还不那么容易被接受。
所以前面用旋转重合来表达这一点为的就是更具体明确一些。
作者: 其妙    时间: 2013-9-22 00:11

回复 31# 爪机专用
心语默认了和向量是常数向量,所以不论如何转动、如何均匀分布都不改变和向量之值。
又根据和向量方向不定,从而判断和向量是零向量。
所以推理似乎出现了矛盾。
事实上有可能和向量是一个与n个点有关的向量(类似于n元函数),不一定是常数向量
作者: 心语    时间: 2013-9-22 05:23

回复 32# 其妙


    根本就没转
作者: 007    时间: 2013-9-22 09:07

其实,上面已经有很好的证法了,下面我说一下我的解法:(和某些人的类似)
设$$\overrightarrow{S}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k},$$
则有$$\overrightarrow{S}\cdot\vv{P_1P_2}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}\cdot(\vv{OP_2}-\vv{OP_1})=0,$$
即有$$\overrightarrow{S}\perp\vv{P_1P_2};$$同理,$$\overrightarrow{S}\perp\vv{P_2P_3}。$$又有$$\vv{P_1P_2}与\vv{P_2P_3}不共线,$$
于是$$\overrightarrow{S}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{OP_k}=\vv0.$$
作者: 007    时间: 2013-9-22 09:09

楼上的解法,不涉及三角公式的化简,只涉及到数量积的定义式运算,以及平面向量的表示与几何图形间的关系。
作者: 郝酒    时间: 2015-1-7 15:44

我也来给个解法吧,时间关系,稍后补细节
$\vec{OP_1}+\vec{OP_2} = 2\vec{OP_1^*}$(P1P2中点)
2 $\sum \vec{OPi} = 2 \sum \vec{OP_i^*}$
这样的话结果不停地等比例缩小,因为可以无限做下去,所以和只能是$\vec{0}$
作者: kuing    时间: 2015-1-7 16:11

回复 36# 郝酒

哈,这也能无穷递降,有点意思
作者: goft    时间: 2015-1-8 15:11

n个向量首尾相接构成正n多边形,证毕
作者: kuing    时间: 2015-1-8 16:07

回复 38# goft

那你还得说明为什么经过平移一定能首尾相接
作者: goft    时间: 2015-1-9 20:44

回复 39# kuing

相邻向量的夹角相同,且边长相同
作者: 走走看看    时间: 2017-10-26 21:48

回复 11# 其妙

证得很好,但有一点笔误。$当n是偶数时,m=\frac{n+2}{2},错误,应改为m=\frac{2k+n}{2}$。
作者: 走走看看    时间: 2017-10-26 22:51

回复 34# 007

高!




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