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标题: [几何] P为正五边形ABCDE外接圆弧EA上一点,求证PA+PC+PE=PB+PD [打印本页]

作者: isee    时间: 2014-3-19 13:22     标题: P为正五边形ABCDE外接圆弧EA上一点,求证PA+PC+PE=PB+PD

本帖最后由 isee 于 2014-3-21 17:07 编辑

由正边形外接圆一点,作过顶点的五条线段之间的数量关系

字母不防按逆时针排列:图其实可以省略

题:$P$点为正五边形$ABCDE$外接圆弧EA上一点,求证:$PA+PC+PE=PB+PD$。

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作者: Tesla35    时间: 2014-3-19 17:46

应该是用托勒密定理吧。
简单情形是圆内接正三角形的那个结论。
作者: kuing    时间: 2014-3-19 17:47

回复 2# Tesla35

正三角形那个太简单了,没想到还有五边形的,美妙,不知还会不会有 2n-1 边形的结论?
作者: Tesla35    时间: 2014-3-19 17:58

P.png
2014-3-19 17:58

@kuing

图片附件: P.png (2014-3-19 17:58, 17.11 KB) / 下载次数 2580
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作者: kuing    时间: 2014-3-19 19:08

终于想到了不用计算的纯几何证法……

QQ截图20140319190648.png
2014-3-19 19:08


如图,作正五边形 $EPQRS$,由角度关系易知 $Q$, $R$, $S$ 分别在 $PB$, $PC$, $PD$ 上,于是易证 $\triangle EPA\cong\triangle ESD$, $\triangle EQB\cong\triangle ERC$,从而 $PA+PC+PE=SD+PR+RC+PQ=SD+PS+QB+PQ=PD+PB$。

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作者: realnumber    时间: 2014-3-19 19:23

本帖最后由 realnumber 于 2014-3-19 19:24 编辑

三角形也发下或连接,给几何菜鸟也领略下~~~
又真的很神奇,不要停,还有楼上说的2n-1边什么的.
此贴收录到余烬精华收集贴
作者: kuing    时间: 2014-3-19 19:28

回复 6# realnumber

三角形的:
QQ截图20140319192701.gif
2014-3-19 19:27


其实我上面作正五边形也是受了这个的启发

图片附件: QQ截图20140319192701.gif (2014-3-19 19:27, 3.93 KB) / 下载次数 2548
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作者: 其妙    时间: 2014-3-19 20:14

托勒密定理,
复数可以不?
作者: 其妙    时间: 2014-3-19 20:14

回复 5# kuing
这些辅助线,只有你想得出来!
作者: 其妙    时间: 2014-3-19 20:18

乌贼怎么还不上来做这道几何题?
作者: 乌贼    时间: 2014-3-19 20:21

回复 5# kuing
漂亮
作者: isee    时间: 2014-3-19 21:23

本帖最后由 isee 于 2014-3-19 22:27 编辑

回复 6# realnumber

此题很成熟,很早很早就被破得稀里哗啦~
故,正2n-1边形是成立的,奇和=偶和。此时,纯几何与Plolemy就太麻烦了。

这个最后给个5边形的例子咯。





哇,这个砖引来好多玉~




说来惭愧啊,初见时,我随手画了两下,这个线段和太难构造了,就直接三角函数了!后见一种对称法……,就丢了上来,准备给大家欣赏的,(但,kuing在5楼的纯几何完全是无字证明,也厉害)。

再后,用Plolemy定理+分析法得到个证明过程,比4楼Tesla35复杂些,用正五边形两对角形线比代换而来。



回到开始,三角法倒是简单,如,五边形时(正2n-1边形,类似):字母不防按逆时针排列:

$P$点为正五边形$ABCDE$外接圆弧EA上一点,求证:$PA+PC+PE=PB+PD$。

令$弧{PA}\stackrel{m}{=}2\alpha$,不防设正$\triangle ABC$外接圆的直径为1,则有

\begin{align*}
&PA+PC+PE-PB-PD\\
&=\sin \alpha +\sin \biggl(\dfrac{2\pi}{5}+\alpha\biggr)+\sin \biggl(\dfrac{4\pi}{5}+\alpha\biggr)-\sin \biggl(\dfrac{\pi}{5}+\alpha\biggr)-\sin \biggl(\dfrac{3\pi}{5}+\alpha\biggr)\\
  &=\sin \alpha +\sin \biggl(\dfrac{2\pi}{5}+\alpha\biggr)+\sin \biggl(\dfrac{4\pi}{5}+\alpha\biggr)+\sin \biggl(\dfrac{6\pi}{5}+\alpha\biggr)+\sin \biggl(\dfrac{8\pi}{5}+\alpha\biggr)\tag{1} \label{eq01}\\
  &=\sin \alpha +\sin \biggl(\dfrac{2\pi}{5}+a\biggr)+\sin \biggl(\dfrac{8\pi}{5}+\alpha\biggr)+\sin \biggl(\dfrac{4\pi}{5}+\alpha\biggr)+\sin \biggl(\dfrac{6\pi}{5}+\alpha\biggr)\\
  &=\sin \alpha +2\sin (\pi+\alpha)\cos\biggl(-\dfrac{3\pi}5\biggr)+2\sin (\pi+\alpha)\cos\biggl(-\dfrac{\pi}5\biggr)\\
  &=\sin \alpha -2\biggl(\cos\dfrac{3\pi}5+\cos \dfrac{\pi}5\biggr)\sin \alpha\\
  &=\sin \alpha -4\cos\dfrac{2\pi}5 \cos \dfrac{\pi}5 \sin \alpha\\
  &=\sin \alpha -\dfrac{2\cos\dfrac{2\pi}5 \cdot 2\cos \dfrac{\pi}5 \sin \dfrac{\pi}5}{\sin \dfrac{\pi}5} \sin \alpha\\
  &=\sin \alpha -\dfrac{2\cos\dfrac{2\pi}5\sin \dfrac{2\pi}5}{\sin \dfrac{\pi}5} \sin \alpha\\
  &=\sin \alpha -\dfrac{\sin \dfrac{4\pi}5}{\sin \dfrac{\pi}5} \sin \alpha\\
  &=0\\[3em]
  \Rightarrow &PA+PC+PE=PB+PD
\end{align*}

其实 \eqref{eq01} 恒为零,包括其推广式,也就是正2n-1边形时。

正因为如此,所以复数法理论没问题,特别是一般情形。
作者: 乌贼    时间: 2014-3-19 21:53

本帖最后由 乌贼 于 2014-3-19 22:21 编辑

没5楼巧,硬构
过$B$点作$AP$的平行线交$EP$的延长线于$Q$,$BQ$交圆于$H$,在劣弧$AB$上
取一点$F$,使$DP=BF$,延长$EF$交$QB$延长线于$G$。
易证$BF//AH//EP,\triangle AFB\cong\triangle BHC\cong\triangle CPD,\triangle PBQ,\triangle QEG,\triangle BFG$为等腰三角形,$AHQP$为平行四边形
$AP+CP+DP=GB+BH+HQ=GQ=QE=EP+PQ=EP+BP$
另外用几何画板怎么画正五边形啊!
211.png
2014-3-19 22:15


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http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=1369&k=4751351b0c4304292c0a9a5bdaea608e&t=1711660218&sid=l3EZRm


作者: isee    时间: 2014-3-19 22:01

本帖最后由 isee 于 2014-3-19 22:35 编辑

回复 7# kuing

我喜欢形外辅助线多一点,最重要的原因,考场上好使,哈哈。

(形内形外辅助线,无非线段和差角度不同,无所谓啦)



三角形中,Polemy定理直接秒(具体略):
$P$点为正三角形$ABC$外接圆弧$CA$上一点,求证:$PA+PC=PB$。

一般说,将BP分得的两个三角形,绕(P所对的顶点,其实三角形的随便某个顶点均可)旋转$60^\circ$即可,方向,是让等边三角形的边能重合。


snap-trg.png
2014-3-19 21:57




由于$\angle PAB+ \angle PCB=180^\circ$,
故如图,点$A'$在PC直线上,容易得到正三角形$PBA'$.
于是$PA+PC=CA'+PC=PA'=PC$.





还有另一个辅助的由来法,这个用的人好像不多,就是再作圆(在很多圆的题中,很有效,如蝴蝶定理,很多证明就是再构造个圆)。


snap-trg01.png
2014-3-19 22:17


如以A为圆,AP为半径,交PC直线于D,则阴影为正三角形,红蓝两三角形全等。

如果选择与BP的交点便是kuing的图。







将A,B,C平等对待,以上各法,其实均可看到作圆。
(第一个旋转可以看到以B为圆心,BP为半径交PC延长线)



snap-trg02.png
2014-3-19 22:35


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作者: isee    时间: 2014-3-19 22:03

回复 13# 乌贼


    尺规作图法,如果不记得了,直接108度旋转某个点啊。
作者: 乌贼    时间: 2014-3-19 22:07

回复 15# isee
谢谢
作者: kuing    时间: 2014-3-19 22:09

原来也是被玩烂了的东西……我还是第一次见,惭愧……
作者: isee    时间: 2014-3-19 22:15

本帖最后由 isee 于 2014-3-19 22:25 编辑

回复 17# kuing

几何经典太多,数学就像时装,周而复始,时尚也。

没什么大小了的,喜欢就好,最惊喜的是,网上基本流行均是Polemy定理的证法。

这纯几何多爽啊
作者: tommywong    时间: 2014-3-19 22:31

看到4#那个,觉得推广方向应该是这样

$PA+PB=\frac{-1+√5}{2} PD$

$PC+PE=\frac{1+√5}{2} PD$
作者: isee    时间: 2014-3-19 22:47

本帖最后由 isee 于 2014-3-20 00:56 编辑

回复 14# isee


因此,转载一个五边形形外
作法,by 国立台湾师大附中王启光

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作者: isee    时间: 2014-3-19 23:31

本帖最后由 isee 于 2014-3-20 00:16 编辑

回复 13# 乌贼


这辅助线,构得也很好,不过,实在不想看,眼都花了。

刚开始只看kuing的几何图以为是旋转构造,原来是构五边形!如三角形造三角形如出一辙,领会了一下,兄台第一平行也是神来之笔,而实际上也是构造了五边形!

改进之后的辅助图:(按此图要证明的是:PA+PD+PB=PE+PC;下图中将P与P'字母互换一下就与原图字母一致)


snap-ptg02.png
2014-3-19 23:34



此图,和在前面说的作圆本质相同,但这里不用全等的说法,乃中心对称也!


具体操作如下:

以在圆上另取一点P'(点P''),使线段PP'(线段PP'')等于正五边形的边长(AB边的长)。
由圆中正五边形,及弧与边的关系,容易得到AP'=PB=CP'',这个很关键。


以PP'中点为中心点,将整个图形中心对称,得正边形形A'B'C'D'E'及其外接圆,如图。

等腰梯形DEP'P与D'E'PP'是关于PP'的中点(即前面的对称中心)对称的,这表明E,P',D'是共线的,D,P,E'亦是如此。

在虚线圆中P的位置与实线圆中的P是等价地位(这个说法,稍口语的,明白意思就成),即有PA'=P'B'。
进一步,PE=P'E'=PD'。

于是PE+PC=PD'+PC=CD'。(与前面一样,注意两等圆中,用等价位置转换相等线段,或者规范一点,等圆等弧推等线段。)

另一方面,PA+PD=P'A'+PD=PE'+PD=DE'=ED'。

连接EP'',交CD'于K,连CP'',还是由弧长关系,得$\angle P''=\angle CKP''=\angle D'KE=\angle D'EK$,实际均为$\dfrac {2\pi}5$。

这样,ED'=D'K,即$PA+PD=PE+PC-PB$,证毕。

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作者: kuing    时间: 2014-3-19 23:35

刚开始只看kuing的几何图以为是旋转构造,原来是构五边形!如三角形造三角形如出一辙, ...
isee 发表于 2014-3-19 23:31

所以我在7#也说了受三角形时的启发
作者: 乌贼    时间: 2014-3-20 00:11

回复 21# isee
碰到这类证线段和相等的问题,我喜欢把它们分别变成两线段后再证线段,所以说硬构。
作者: isee    时间: 2014-3-20 00:11

回复 22# kuing


睡了先,前面提到的(沿边)轴对称的方法与中心对称大同小异,不想发了,知道构造正五边形后……
作者: kuing    时间: 2014-3-20 00:23

正 7 边形,一样可证
QQ截图20140320002254.gif
2014-3-20 00:23

这样,不难发现,正 2n-1 边形也是同理的。
因为由于总是对称地全等,在较小的正 2n-1 边形外的线段总是互相抵消掉,剩下里面的又对称性地相等,所以总是成立的。

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作者: kuing    时间: 2014-3-20 00:33

QQ截图20140320003239.gif
2014-3-20 00:32


可惜,估计这也不是我第一个想到的,想在平几何里玩出新东西,谈何容易

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作者: tommywong    时间: 2014-3-20 08:15

无标题.png
2014-3-20 08:12


解出每条对角线的比例后,用一次托勒密定理就有一个关系

$a_1^2=2r^2(1-cos\frac{2π}{n})$

$a_2^2=2r^2(1-cos\frac{4π}{n})$

$\frac{a2}{a1}=\frac{sin\frac{2π}{n}}{sin\frac{π}{n}}$

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作者: 其妙    时间: 2014-3-20 13:15

isee在12楼的解答看不见,isee总是能找些经典的几何题!
作者: isee    时间: 2014-3-20 13:33

本帖最后由 isee 于 2014-3-20 13:42 编辑

回复 28# 其妙

换浏览器,或者开启IE视图兼容


有空你来写下三角函数的一般情况下的过程?其实主要是这种题比较平易近人,说难吧,想一总能解决,说简单吧,一时半会不会有结果,总之,平易近人
作者: kuing    时间: 2014-3-20 13:36

isee在12楼的解答看不见,isee总是能找些经典的几何题!
其妙 发表于 2014-3-20 13:15

进 archiver 版或许能看到 http://kuing.orzweb.net/archiver/?tid-2494.html
作者: 其妙    时间: 2014-3-20 13:53

回复 30# kuing
真能看到了!
我还以为用的是复数呢?
作者: realnumber    时间: 2014-3-20 14:18

25.26楼的图太漂亮了,你真查证过不是第一个?
感觉上和一些数学大会会标一样了.
作者: kuing    时间: 2014-3-20 14:33

25.26楼的图太漂亮了,你真查证过不是第一个?
感觉上和一些数学大会会标一样了.
realnumber 发表于 2014-3-20 14:18

没查证过,不过这并不是很难想的东西,如无意外下我们以上的,尽管都是自己想,但都将是重新发现。
作者: isee    时间: 2014-3-20 15:36

本帖最后由 isee 于 2014-3-20 15:39 编辑

回复 25# kuing



中心对称亦可以搞定7边形,虽然图形不那么好看,
核心是,中间大小两三角形都是等腰的,同色两三角形全等。
目标式为:$a_3+a_5-(a_2+a_4)=a_6-a_1-a_7$,

这里,$a_1,a_7$化到$a_6$上,用中心对称是容易看出来的。需要改进的是,最后一个同色三角形全等,太不“和谐”了。

图片附件: snap-7.png (2014-3-20 15:33, 72.32 KB) / 下载次数 2079
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作者: isee    时间: 2014-3-20 21:50

回复 5# kuing

正如前面所说,正五形的的顶点应该都是等同地位的,
故,将kuing的辅助线,适当修改,
改成- 法(线段差)为 + 法(线段和),
个人更习惯些。

如图:先将三角形BPA绕点B顺时针旋转108度得到三角形BCP',
由B,C,P,A四点共圆,知P'在PC延长线上,构造正五边形PBP'P''P''',如图所示。

则 $PP'=PP'' \Rightarrow a_1+a_3=a_4+(a_2-a_5)\Rightarrow PA+PC+PE=PB+PD$。

这辅助线的真赞,kuing,这就是属于你的了。

图片附件: snap-5.png (2014-3-20 21:46, 28.3 KB) / 下载次数 2089
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作者: isee    时间: 2014-3-20 22:25

本帖最后由 isee 于 2014-3-20 22:27 编辑

果然最长的边时最快速。

图片附件: snap-52.png (2014-3-20 22:27, 56.17 KB) / 下载次数 2101
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作者: isee    时间: 2014-3-21 11:25

本帖最后由 isee 于 2014-3-21 11:27 编辑

回复 35# isee


    岂能厚此薄彼呢?向外转一样可以的。正五边形,总之需要三次旋转。

将加法做到底:$a_2+a_4=a_5+(a_1+a_3)$

图片附件: snap-53.png (2014-3-21 11:25, 19.68 KB) / 下载次数 1988
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作者: isee    时间: 2014-3-21 11:28

刹不住车了~
作者: isee    时间: 2014-3-21 12:13

本帖最后由 isee 于 2014-3-21 12:19 编辑

特别的,如果正五边形和原正边形全等如何呢?
(即所作五边形不落在延长线上呢?)
即有轴对称了:

snap-54.png
2014-3-21 12:12


将五边形沿AB(理论上任何边均可)对称,得对称图形。
延长PA交对称圆于P',直线P'B交圆于p'',交PC于F。

然后就同中心对称了。而且基本就是一样地

回头看看,以方法全部统一,构造正边形(常说构造正三角形,正方形的……)。

互此,止步了……

图片附件: snap-54.png (2014-3-21 12:12, 16.19 KB) / 下载次数 2048
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作者: isee    时间: 2014-3-21 12:23

几何画板真是对付复杂图形的利器,几何画板直观图形,省了不少事儿

最后,感谢大家积极响应,严重感谢各位!




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