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标题: [函数] 一个函数单调性的证明 [打印本页]

作者: aishuxue    时间: 2014-3-7 21:35     标题: 一个函数单调性的证明

证明函数$f(x)=x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{4}{x}+\dfrac{2(x+2)cosx}{x}$在$(0,1)$上单调递减.
作者: kuing    时间: 2014-3-7 23:18

比较无趣地,不断求导……
\[f'(x)=\frac{x^3+x^2+4-2x^2\sin x-4\cos x-4x\sin x}{x^2},\]

\[g(x)=2x^2\sin x+4x\sin x+4\cos x-x^3-x^2-4,\]
因 $g(0)=0$,故只需证 $g'(x)>0$,求导得
\[g'(x)=x(2x\cos x+4\sin x+4\cos x-3x-2),\]

\[h(x)=2x\cos x+4\sin x+4\cos x-3x-2,\]
只需证 $h(x)>0$,求二阶导得
\[h''(x)=-2\sin x-2x\cos x-6\sin x-4\cos x<0,\]

\[h(x)>\min \{h(0),h(1)\}=\min \{2,6\cos1+4\sin1-5\},\]

\[6\cos1+4\sin1>6\cos\frac\pi3+4\sin\frac\pi4=3+2\sqrt2>5,\]
故 $h(x)>0$,得证。
作者: kuing    时间: 2014-3-8 00:34

回复 3# 战巡

$\epsilon$ 不是跟 $x$ 有关的么?那样求导会不会有问题?
作者: 战巡    时间: 2014-3-8 01:05

回复 3# kuing


算了,不折腾了,直接删了
作者: kuing    时间: 2014-3-8 01:25

回复 4# 战巡






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