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标题:
[函数]
一个函数单调性的证明
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作者:
aishuxue
时间:
2014-3-7 21:35
标题:
一个函数单调性的证明
证明函数$f(x)=x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{4}{x}+\dfrac{2(x+2)cosx}{x}$在$(0,1)$上单调递减.
作者:
kuing
时间:
2014-3-7 23:18
比较无趣地,不断求导……
\[f'(x)=\frac{x^3+x^2+4-2x^2\sin x-4\cos x-4x\sin x}{x^2},\]
令
\[g(x)=2x^2\sin x+4x\sin x+4\cos x-x^3-x^2-4,\]
因 $g(0)=0$,故只需证 $g'(x)>0$,求导得
\[g'(x)=x(2x\cos x+4\sin x+4\cos x-3x-2),\]
令
\[h(x)=2x\cos x+4\sin x+4\cos x-3x-2,\]
只需证 $h(x)>0$,求二阶导得
\[h''(x)=-2\sin x-2x\cos x-6\sin x-4\cos x<0,\]
故
\[h(x)>\min \{h(0),h(1)\}=\min \{2,6\cos1+4\sin1-5\},\]
而
\[6\cos1+4\sin1>6\cos\frac\pi3+4\sin\frac\pi4=3+2\sqrt2>5,\]
故 $h(x)>0$,得证。
作者:
kuing
时间:
2014-3-8 00:34
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3#
战巡
$\epsilon$ 不是跟 $x$ 有关的么?那样求导会不会有问题?
作者:
战巡
时间:
2014-3-8 01:05
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3#
kuing
算了,不折腾了,直接删了
作者:
kuing
时间:
2014-3-8 01:25
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4#
战巡
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