免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
Board logo

标题: [函数] 来自人教群的抽象函数 $f(-x)+f(x)=x^2$, $x>0,f'(x)>x$ [打印本页]

作者: kuing    时间: 2014-1-6 14:28     标题: 来自人教群的抽象函数 $f(-x)+f(x)=x^2$, $x>0,f'(x)>x$

QQ截图20140106142425.gif
2014-1-6 14:23

令 $g(x)=f(x)-x^2/2$,则
\[g(-x)+g(x)=f(-x)-\frac12(-x)^2+f(x)-\frac12x^2=0,\]
故 $g(x)$ 为奇函数,当 $x>0$ 时,$g'(x)=f'(x)-x>0$,故 $g(x)$ 为增函数(且显然是严格递增的),而
\begin{align*}
f(2-a)-f(a)-2+2a&=f(2-a)-\frac12(2-a)^2-\left( f(a)-\frac12a^2 \right) \\
& =g(2-a)-g(a),
\end{align*}

\[g(2-a)\geqslant g(a)\iff 2-a\geqslant a\iff a\leqslant 1.\]

图片附件: QQ截图20140106142425.gif (2014-1-6 14:23, 9.71 KB) / 下载次数 1585
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=1067&k=08678a55e85d42e2433c5f0b9afef53f&t=1711650457&sid=bbxbhj


作者: kuing    时间: 2014-1-6 16:55

忘记了做最重要的一件事,就是要证明题目没问题,这需要构造一个满足条件的函数,这很简单,比如说 $f(x)=x^2/2+x$ 即可。
作者: Tesla35    时间: 2014-1-6 21:01

kuing 好棒,今天写了好多题
作者: kuing    时间: 2014-1-6 21:07

回复 3# Tesla35

嘿嘿,一起玩啊555
作者: 其妙    时间: 2014-1-6 22:46

忘记了做最重要的一件事,就是要证明题目没问题,这需要构造一个满足条件的函数,这很简单,比如说 $f(x)=x ...
kuing 发表于 2014-1-6 16:55

思维好严谨,连充分性也证明了。虽然做题常常用必要性。
作者: kuing    时间: 2014-1-6 22:47

回复 5# 其妙

没办法,抽象函数错题见多了
作者: 第一章    时间: 2014-1-8 00:11

看来突破口就在于$f'(x)>x$这一条件
作者: 其妙    时间: 2014-1-8 13:56

看来突破口就在于$f'(x)>x$这一条件
第一章 发表于 2014-1-8 00:11
$f'(x)>x$,$f'(x)-x>0$,积分得:$g(x)=f(x)-\dfrac{x^2}2+C$($C$为常数),
作者: wenshengli    时间: 2014-1-9 10:07

回复 1# kuing

牛!
这个是13年卓越的题.
作者: 其妙    时间: 2014-1-9 13:49

回复  kuing

牛!
这个是13年卓越的题.
wenshengli 发表于 2014-1-9 10:07

出处dang牛笔!
作者: chen、bin    时间: 2015-3-27 19:42

学习
作者: 走走看看    时间: 2018-3-10 22:02

回复 1# kuing

在x>0时,是增函数。由g(x)是奇函数可知,在x<0时,也是增函数,但未必在(-∞,+∞)上是增函数啊。比如也可能是这样的奇函数,x∈(-∞,0)时,f(x)<3;x∈(0,+∞)时,f(x)>-3;f(0)=0。假定以0为分界点的两边都是增函数,显然整个定义域上却不是增函数。

请教大师,您怎么知道g(x)在全域上都是增函数?
作者: kuing    时间: 2018-3-11 00:55

回复 12# 走走看看

请念题目第一句话100遍
作者: 走走看看    时间: 2018-3-11 07:21

回复 13# kuing


  明白了,可导必连续。
作者: 其妙    时间: 2018-3-12 18:11

回复 8# 其妙
除了用积分法的暗示而外,还有个一暗示就是构造奇函数,并且一次函数是两个“同型的”二次函数之差,




欢迎光临 悠闲数学娱乐论坛(第2版) (http://kuing.orzweb.net/) Powered by Discuz! 7.2