设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上非负递增,求证:存在 $[0,1]$ 上的非负凸函数 $g(x)$ 满足 $g(x)\leqslant f(x)$ 且 \[ \int_0^1g(x)\rmd x\geqslant\frac12\int_0^1f(x)\rmd x. \]