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标题: [数论] 证明欧拉函数 [打印本页]

作者: realnumber    时间: 2013-12-10 07:47     标题: 证明欧拉函数

本帖最后由 realnumber 于 2013-12-10 09:36 编辑

正整数$a=p_1^mp_2^np_3^l....$,($a$的标准分解式),那么小于$a$且与$a$互素的正整数个数为$φ(a)$个,$φ(a)=p_1^{m-1}(p_1-1)p_2^{n-1}(p_2-1)p_3^{l-1}(p_3-1)....$
46152375.jpg.450ttt.jpg
2013-12-10 09:34

谷歌涂鸦中,融入了莱昂哈德·欧拉的许多数学成就,如三角学、欧拉函数和欧拉方程等。
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler ,1707年4月15日~1783年9月18日)
又google涂鸦中,第三个字母O中图形指?

图片附件: 46152375.jpg.450ttt.jpg (2013-12-10 09:34, 57.61 KB) / 下载次数 3147
http://kuing.orzweb.net/attachment.php?aid=923&k=1d7d0f4e7e326280730a85bee4d28966&t=1711669807&sid=nqMwn8


作者: 其妙    时间: 2013-12-10 11:17

《初等数论》教材
作者: realnumber    时间: 2013-12-10 15:54

回复 2# 其妙
晓得,只是想把自己探索过程写下,
以下,$p,q$为素数,$m,n,a,$为正整数.
1.先尝试了下$φ(p)=p-1$,这个简单.
2.再$φ(p^m)$
3.$φ(pq)$
4.$φ(p^mq^n)$
5.$φ(pa)$,其中$(p,a)=1$
6.$φ(p^ma)$,改为尝试$φ(pa)$,其中分$(p,a)=1$,与$(p,a)=p$.
作者: Infinity    时间: 2018-2-11 16:44

欧拉曾研究刚体定点转动,使用笛卡尔坐标系很不方便,为此引入了欧拉角。估计指的就是这个。

至于欧拉函数$\varphi(x)$,只需证明它是积性函数,再注意到素数与小于自己的正整数都互素,就能迅速得到上述一般公式。
作者: 白兔糖    时间: 2018-2-20 00:50

这个证法有很多,容斥原理的也有,中国剩余定理的也有,等等




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