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求$\lim_{x \to 0}\frac {ax-\sin x}{\int_b^x\frac {\ln (1+t^3)}t\rm dt}$

本帖最后由 isee 于 2022-1-14 12:16 编辑

源自知乎提问


题:求非负实数 $a,b$ 的值,使 $\lim_{x \to 0}\frac {ax-\sin x}{\int_b^x\frac {\ln (1+t^3)}{t}\mathrm dt}=\frac 12.$

注意到是 $\frac 00$ 型未定式极限处理,分母中被积函数 $\color{red}{\frac {\ln (1+t^3)}{t}>0},$ 依题必有

$\lim_{x \to 0}\int_b^x\frac {\ln (1+t^3)}{t}\mathrm dt=0,$ 于是 $b=0.$

从而

\begin{align*} \lim_{x \to 0}\frac {ax-\sin x}{\int_0^x\frac {\ln (1+t^3)}{t}\mathrm dt} &=\lim_{x \to 0}\frac {a-\cos x}{\frac {\ln (1+x^3)}{x}}\\[1em] &=\color{red}{\lim_{x \to 0}\frac {a-\cos x}{x^2}}\\[1em] &=\frac 12\ne 0 \end{align*}

于是 $a=1.$

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