涉无简单解的四次方程唉……
在$\triangle ABC$中,$\sin 2A+\sin(A-B+C)=\sin(C-A-B)+\dfrac{1}{2}$且满足$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq 8$,求$abc$的取值范围.
ym2016 发表于 2021-12-13 11:17 
首先由于第一个条件只限制角，当角度取定后，三角形可放缩，故由第二个条件可知 `abc` 无最大值，且取最小值时必然 `a^2+b^2+c^2=24`，结合 2 楼的化简，问题变成：
三角形中 `\sin A\sin B\sin C=1/8`, `a^2+b^2+c^2=24`，求 `abc` 最小值。
利用正弦定理，有 `abc=R^3` 且 `R^2(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C)=6`，于是只需解决以下问题：
三角形中 `\sin A\sin B\sin C=1/8`，求 `f=\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C` 的最大值。
不妨设 `A`, `B` 均为锐角，条件消 `C` 展开易得
\[\cot A+\cot B=\frac1{8\sin^2A\sin^2B},\]
令 `x=\cot A`, `y=\cot B`，上式即
\[x+y=\frac{(1+x^2)(1+y^2)}8,\]
所求式
\[f=\frac1{1+x^2}+\frac1{1+y^2}+\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{64},\]
这时我选择 扔给电脑算了 mma 给出的结果是：
当 `x=y` 且为方程 `x^4+2x^2-16x+1=0` 的较小正根（约为 `0.062997`）时 `f` 取最大值（也就是等腰三角形时），
最大值为方程 `256t^4-512t^3+32t^2-288t+433=0` 的较大正根（约为 `2.00784`）。
那么回到原题的 `abc` 的最小值，就是 `(6/f)^{3/2}`，约为 `5.16574`。 |
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发表于 2021-12-13 11:17
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发表于 2022-1-17 17:52
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