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悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 零点之和

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发表于 2013-11-13 22:16 | 只看该作者

[函数] 零点之和

题目：定义在$(0,+\infty)$上的函数$f(x)$满足：
（1）当$x\in [1,3)$时，$f(x)=1-\abs{x-2}$；
（2）$f(3x)=3f(x)$。
设关于$x$的函数$F(x)=f(x)-a$的零点从小到大依次为$x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots$。
若$a=1$，则$x_1+x_2+x_3=$______;
若$a\in (1,3)$，则$x_1+x_2+\cdots +x_{2n}=$_________.

PS:2013年11月海淀高三上理科期中第14题。

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2^#

发表于 2013-11-13 22:41 | 只看该作者

画图看交点，两两配对和为定值，最后变成数列求和

3^#

发表于 2013-11-13 23:33 | 只看该作者

对称轴？
还有就是相似形？相似比为3？

4^#

发表于 2013-11-13 23:39 | 只看该作者

回复 3# 明春

对

5^#

发表于 2013-11-14 00:30 | 只看该作者

本帖最后由乌贼于 2013-11-14 00:36 编辑

不明白，根据函数性质（1）有$f(\frac32)=\frac12$，而根据性质（2）有$f(\frac32)=f(3\times\frac12)=3f(\frac12)=-\frac32$
汗

没看清$x\in[1,3)$，没问题了

6^#

发表于 2013-11-14 01:46 | 只看该作者

QQ截图20131114014739.gif

$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

7^#

发表于 2013-11-15 12:53 | 只看该作者

第二空，真做起来，找对称轴，还是麻烦的。需要力强的想像能力。

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