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[函数] 已知$x\in(0,\frac{\pi}{2})$,求$\cot\frac{x}{8}-\cot x$的值域

本帖最后由 Tesla35 于 2021-12-8 15:58 编辑

已知$x\in(0,\frac{\pi}{2})$,求$\cot\frac{x}{8}-\cot x$的值域
经验证是单调递减的,有啥好方法证明
令$y=\cot\frac{x}{8}-\cot x$,
则$y'=-\frac{\frac{1}{8}}{\sin^2\frac{x}{8}}+\frac{1}{\sin^2x}<0\iff 8\sin^2\frac{x}{8}<\sin^2x\iff2\sqrt{2}\sin\frac{x}{8}<\sin x$
而$0<\frac{x}{8}<x<\frac{\pi}{2}$.
显然成立。
$x\to0^+$只能用极限说明了?
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本帖最后由 isee 于 2021-12-8 14:07 编辑

回复 1# Tesla35

$y=\cot x$ 在 $0$ 两侧极限都不存在($x=0$ 是第二类间断点),要么如 $y=1/x$ 一样承认图象非常熟悉,要么就动极限,而且,此题多半不是高考范围内的…… 即便是也是十多年前的,那时 $y=\cot x$ 的图象是要求掌握的……

我更想知道的是这个下确界值怎么求.

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$x\to0^+$只能用极限说明了?
Tesla35 发表于 2021-12-6 22:15

可以证明:对 `x\in(0,\pi/2)`, `a\in(0,1)`,恒有
\[\cot(ax)-\cot x>\frac{1-a}x,\quad(*)\]令
\[g(a)=\cot(ax)-\cot x-\frac{1-a}x,\]则
\[g'(a)=-\frac x{\sin^2(ax)}+\frac1x=\frac{\sin^2(ax)-x^2}{x\sin^2(ax)}<\frac{(ax)^2-x^2}{x\sin^2(ax)}<0,\]所以 `g(a)>g(1)=0`,即得证。

注:这是由拉格朗中值构造的式 (*),改由导数证明,变换主元

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回复 2# isee

你是说算cot(π/16)?用两次倍角公式不就好了吗?

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回复 4# 色k

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