[几何] 来自讨论组：椭圆切线被坐标轴所截，求最短截线长

教学乡长(2654******) 2021/12/1 20:52:44
有没有几何法？

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2021-12-4 14:50

速度分解+伸缩变换+几何：
当直线运动时，设 `P`, `Q` 在坐标轴上的速度分别为 `v_P`, `v_Q`，作速度分解，如下图（左）：
QQ截图20211204143805.jpg

当 `PQ` 取最值时，应有
\[v_P\cos\theta=v_Q\sin\theta,\]设切点为 `A`，则
\[\frac{v_P\sin\theta}{v_Q\cos\theta}=\frac{AP}{AQ},\]所以
\[\frac{AP}{AQ}=\tan^2\theta=k_{PQ}^2,\]现在，作伸缩变换，沿 `y` 轴方向拉伸至两倍将椭圆变成圆，如上图（右），由于线段比不变，而斜率为两倍，所以拉伸后应有
\[\frac{AP}{AQ}=\frac{k_{PQ}^2}4,\]又
\[\frac{AP}{AQ}=\frac{AP}{AO}\cdot\frac{AO}{AQ}=\frac1{k_{PQ}^2},\]所以 `k_{PQ}^2=2`，即
\[OQ^2=2OP^2,\]又
\[\frac1{OP^2}+\frac1{OQ^2}=\frac1{OA^2}=\frac14,\]解得 `OP^2=6`, `OQ^2=12`，那么，在拉伸之前，就是 `OP^2=6`, `OQ^2=3`，此时 `PQ=\sqrt{OP^2+OQ^2}=3`，这就是截线段最小值。

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