区组设计

本帖最后由 hbghlyj 于 2021-11-30 21:30 编辑

一个区组设计是把$v$个不同的对象编进$b$个区组里的一种安排方法,要求满足下面两个条件:
1° 每个区组恰好包含$k$个不同对象($2≤k<v$);
2° 每两个不同的对象一起恰好出现在$λ$个区组里.
一个参数为$(v,b,k,λ)$的区组设计可以用一个$v×b$矩阵$M$来表示,其中$$M(i;j)\xlongequal{{\rm def}}\begin{cases}1,&\text{当对象$P_i$出现在区组$B_j$里,}\\0,&\text{否则.}\end{cases}$$这个矩阵$M$称为区组设计的关联矩阵.
利用关联矩阵可以研究区组设计的性质.

设$M$是参数为$(v,b,k,λ)$的区组设计的关联矩阵.证明:$M$中每一列元素的和(简称为列和)都等于$k$;$M$的每两行的内积等于$λ$.
设$M$是参数为$(v,b,k,λ)$的区组设计的关联矩阵.证明:$M$的每一行元素的和(简称为行和)是一个常数,它等于$λ(v-1)\over k-1$,把这个数记作$r$.
证明:参数为$(v,b,r,k,λ)$的区组设计必满足$$λ(v-1)=r(k-1),vr=bk$$
设$M$是参数为$(v,b,r,k,λ)$的区组设计的关联矩阵.求$MM',|MM'|,\operatorname{rank}(MM')$.
证明:参数为$(v,b,r,k,λ)$的区组设计必满足$v≤b$.

hbghlyj

2^#

发表于 2021-11-30 18:10 | 只看该作者

本帖最后由 hbghlyj 于 2021-11-30 21:45 编辑

从条件1°,2°立得.
设第$i$行的第$a_1,\cdots,a_r$列的元素是1,该行的其他元素是0,则第$a_j$列其他元素之和等于$k-1$,对$j=1,…,r$求和得到$r(k-1)$.另一方面,若第$a_j$列的第$k(≠i)$行的元素为1,则对象$P_i,P_k$一起出现在区组$B_j$里,对$j,k$求和得到$λ(v-1)$,所以$λ(v-1)=r(k-1)$.
每行的行和乘以行数等于每列的列和乘以列数,所以$vr=bk$.
$MM'$的对角线上的元素是每一行与自己的内积所以是$r$,非对角元素是不同的两行的内积所以是$λ$.
把$|MM'|$的各行加到第一行然后提出因式$(v-1)λ+r$后第一行就全部是1了,再把其他行都减去第一行的λ倍就得到一个上三角行列式,所以$|MM'|=((v-1)λ+r)(r-λ)^{v-1}$.
容易说明$r≠λ$(若$r=λ$则$v=k$,与1°矛盾.)然后就有$|MM'|≠0$从而$\operatorname{rank}(MM')=v$.
$v=\operatorname{rank}(MM')=\operatorname{rank}M≤b$.
其中$\operatorname{rank}(MM')=\operatorname{rank}M$的证明可以见这里.