本帖最后由 hbghlyj 于 2021-11-30 21:30 编辑
一个区组设计是把$v$个不同的对象编进$b$个区组里的一种安排方法,要求满足下面两个条件:
1° 每个区组恰好包含$k$个不同对象($2≤k<v$);
2° 每两个不同的对象一起恰好出现在$λ$个区组里.
一个参数为$(v,b,k,λ)$的区组设计可以用一个$v×b$矩阵$M$来表示,其中$$M(i;j)\xlongequal{{\rm def}}\begin{cases}1,&\text{当对象$P_i$出现在区组$B_j$里,}\\0,&\text{否则.}\end{cases}$$这个矩阵$M$称为区组设计的关联矩阵.
利用关联矩阵可以研究区组设计的性质.
- 设$M$是参数为$(v,b,k,λ)$的区组设计的关联矩阵.证明:$M$中每一列元素的和(简称为列和)都等于$k$;$M$的每两行的内积等于$λ$.
- 设$M$是参数为$(v,b,k,λ)$的区组设计的关联矩阵.证明:$M$的每一行元素的和(简称为行和)是一个常数,它等于$λ(v-1)\over k-1$,把这个数记作$r$.
- 证明:参数为$(v,b,r,k,λ)$的区组设计必满足$$λ(v-1)=r(k-1),vr=bk$$
- 设$M$是参数为$(v,b,r,k,λ)$的区组设计的关联矩阵.求$MM',|MM'|,\operatorname{rank}(MM')$.
- 证明:参数为$(v,b,r,k,λ)$的区组设计必满足$v≤b$.
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