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发表于 2021-11-28 00:22 | 只看该作者

[几何] 如何证明二次曲线中的结论

本帖最后由 lemondian 于 2021-11-28 00:24 编辑

已知点$P(x_0,y_0)$为曲线$ax^2+by^2=1$上一定点，动直线$l$交椭圆于$A,B$两点，记直线$PA,PB$的斜率分别为$k_1,k_2$。
若动直线$l$过定点$Q(x_1,y_1)$（点$Q$不在曲线上），则有：$ab(x_0y_1+x_1y_0)(k_1+k_2)+b(-ax_0x_1+by_0y_1+1)k_1k_2+a(ax_0x_1-by_0y_1+1)=0$.

不会证，能不能用齐次化的方法来证？

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lemondian

2^#

发表于 2021-11-28 20:03 | 只看该作者

回复 1# lemondian
有人帮解决下吗？

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kuing

3^#

发表于 2021-11-29 00:49 | 只看该作者

这里的东西或许会有用：http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5846（先放链接，有空再算）

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lemondian

4^#

发表于 2021-11-29 09:50 | 只看该作者

回复 3# kuing
坐等kuing的解答

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isee

5^#

发表于 2021-11-29 11:38 | 只看该作者

回复 4# lemondian

lemondian 要给 kuing 隔空投递一杯奶茶外卖啊，仅仅计算量上~

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色k

6^#

发表于 2021-11-29 12:08 | 只看该作者

回复 5# isee

我不要奶茶，我要奶子

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isee

7^#

发表于 2021-11-29 12:17 | 只看该作者

回复 6# 色k

这个也有外卖?

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lemondian

8^#

发表于 2021-11-29 16:12 | 只看该作者

回复 7# isee
加个鸡腿

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kuing

9^#

发表于 2021-11-29 21:05 | 只看该作者

无需用 3# 的链接，但也是无脑计算。

平移坐标系使 `P` 为原点，则曲线变为
\[a(x+x_0)^2+b(y+y_0)^2=1,\]`PA`, `PB` 变为 `y=k_1x`, `y=k_2x`，联立曲线与 `PA`，即 `a(x+x_0)^2+b(k_1x+y_0)^2=1`，利用 `ax_0^2+by_0^2=1` 解得
\[x_A=-\frac{2(ax_0+k_1by_0)}{a+k_1^2b},\]同理
\[x_B=-\frac{2(ax_0+k_2by_0)}{a+k_2^2b},\]点 `Q` 变为 `Q(x_1-x_0,y_1-y_0)`，它在直线 `AB` 上，所以
\[\frac{y_1-y_0-y_A}{x_1-x_0-x_A}=\frac{y_1-y_0-y_B}{x_1-x_0-x_B},\]去分母即
\[(y_A-y_B)(x_1-x_0)-(x_A-x_B)(y_1-y_0)+x_Ay_B-x_By_A=0,\]即
\[(k_1x_A-k_2x_B)(x_1-x_0)-(x_A-x_B)(y_1-y_0)+(k_1-k_2)x_Ax_B=0,\]代入 `x_A`, `x_B` 化为
\begin{align*}
&a\bigl((k_1+k_2)by_0-(-a+k_1k_2b)x_0\bigr)(x_1-x_0)\\
&+b\bigl((k_1+k_2)ax_0+(-a+k_1k_2b)y_0\bigr)(y_1-y_0)\\
&+2(ax_0+k_1by_0)(ax_0+k_2by_0)=0,
\end{align*}展开按 `k_1+k_2` 和 `k_2k_2` 整理，最终就得到
\[ab(x_0y_1+x_1y_0)(k_1+k_2)+b(-ax_0x_1+by_0y_1+1)k_1k_2+a(ax_0x_1-by_0y_1+1)=0.\]

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