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[几何] AB∥CD,AC,BD 交于 E,AB=AC,BE=BC,∠CAD=15°,求证 AD=BD,AD⊥BD

本帖最后由 uk702 于 2021-11-22 19:36 编辑

如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,AC,BD 交于 E,AB=AC,BE=BC,∠CAD=15°,求证 AD=BD,AD⊥BD
2021-11-22_193427.png
2021-11-22 19:34
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像是这道经典题条件结论反了一下(类似逆命题) 应该不难 证明暂时没想出来感觉类似正命题的思路应该可以
https://www.bilibili.com/s/video/BV1wb41117co

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有称至今也没找到纯几何证法。

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有解无解是一个很复杂的问题(第一个提出三等分角无解的人无疑要被拉出去打一顿),不仅需要高超的技巧,更需要高超的理论。不过想到复杂如莫利定理还是给出了纯几何的证法,我觉得本题应该会有纯几何的证法,虽然我拿它没办法。

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回复 4# uk702
确实是我想简单了试了同一法无果。。。

我唯一接近解出来的是用三角函数还没完全解除来最后三角化简卡住了。。。只能说明$\angle BAE = 30\du$是一个解还不能说明解的唯一性

有时候条件结论反过来难度的确会大大增加就像那道著名的”等腰三角形两底角平分线相等“谁都会证但是逆命题”两个角平分线相等的三角形是等腰三角形”就难很多了

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本帖最后由 isee 于 2021-11-26 22:46 编辑

回复 5# player1703


记 $\angle CAB=x$,易知 $x<60^\circ$,在 $\triangle ABD$ 中由 Ceva 定理角元形式得
\[\frac {\sin 15^\circ}{\sin x}\cdot \frac {\sin \left(90^\circ-\frac x2\right)}{\sin x}\cdot \frac {\sin \left(90^\circ -\frac {3x}2\right)}{\sin (x+15^\circ)}=1,\]
开始三角化简
\begin{align*}
\sin 15^\circ\cos \left(\frac x2\right)\cos\left(\frac {3x}2\right)&=\sin^2 x\sin (x+15^\circ)\\[1em]
\sin 15^\circ\cdot \frac 12(\cos 2x+\cos x)&=(1-\cos^2x)\sin (x+15^\circ)\\[1em]
\sin 15^\circ(\cos x+1)(2\cos x-1)&=2(1-\cos x)(1+\cos x)\sin (x+15^\circ)\\[1em]
\sin 15^\circ(2\cos x-1)-2(1-\cos x)\sin (x+15^\circ)&=0
\end{align*}

函数$$f(x)=\sin 15^\circ(2\cos x-1)-2(1-\cos x)\sin (x+15^\circ),x\in (0,60^\circ),$$单调递减,且$$f(30^\circ)=0.$$
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回复 6# isee

三角 + 分析的方法,过程很清晰,结论也很清晰,学习了,谢谢。

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本帖最后由 uk702 于 2021-11-27 11:26 编辑

不知这个能不能算是一个有效的证明。
2021-11-27_111635.png
2021-11-27 11:18
2021-11-27_112255.png
2021-11-27 11:24

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回复 7# uk702

真早啊。。。

现在回头一看,化简第一行(目测)也是单调的,不必再化简3。

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