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[几何] 矩形翻转,再翻转

矩形纸片ABCD放置于桌面上,将其绕着AB翻转至ABC1D1,使得纸片与桌面成30°二面角。再以AD1为棱,将其翻转至AB2C2D1,使其与翻转前的平面也成30°二面角。求平面AB2C2D1与桌面所成二面角的大小。
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本帖最后由 乌贼 于 2021-10-13 16:52 编辑

回复 1# guanmo1
虚线为同一平面\[ \tan \angle D_1PE=\dfrac{\sqrt{7}}{3} \]
1111-5.png
2021-10-13 05:23

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本帖最后由 乌贼 于 2021-10-13 14:51 编辑

若第二次沿$ AC_1 $翻转$ 30\du  $情况又怎样?

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回复 3# 乌贼
若第二次沿$ AC_1 $翻转$ 30^{\du } $情况又怎样?
乌贼 发表于 2021-10-13 13:25
那还跟矩形的长宽比有关了
PS、$30\du$ 是 $30\du$ 而不用打上标 $30^{\du }$
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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回复 4# kuing
先别剧透

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我试试用向量来算。(原题的)

建系,使 `A` 为原点,`AB` 为 `x` 轴,`AD` 为 `y` 轴。

注意到这两次翻转的结果可以等效为:
先绕 `y` 轴旋转 `30\du`,再绕 `x` 轴旋转 `30\du`。(无需考虑旋转的时针方向,最终所求角与旋转方向无关)

于是矩形平面的法向量由 `(0,0,1)` 变为 `(\sin30\du,0,\cos30\du)`,再变为 `(\sin30\du,\cos30\du\sin30\du,\cos^230\du)`,它与原法向量所成角的余弦值 `=\cos^230\du=3/4`,故所求角为 `\arccos(3/4)`。

PS、如此说来 2# 的 `\tan \angle D_1PE` 应该是 `=\frac{\sqrt7}3`?@乌贼 再检查一下 2#?

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回复 6# kuing
原来算对,给改错了。你的向量方法是降维打击,高中立几失去意义。

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回复 7# 乌贼

咋就失去意义了?几何法向量法又不是互相排斥,看情况哪个方便就用哪个呗,我也经常用几何法,但旋转问题的确是向量好用啊……

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回复 7# 乌贼

不用伤心,kuing 的系,大部分(高中生)是想不到的

其次,空间向量已经在新课标中存在很多年了

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回复 6# kuing


    法向量的变化咋得到的?

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回复 10# guanmo1

(0,0,m) 绕 y 轴旋转 a 角变成 (msina,0,mcosa)
(s,0,t) 绕 x 轴旋转 b 角变成 (s,tsinb,tcosb)

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回复 11# kuing

谢谢了!

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本帖最后由 isee 于 2021-10-15 12:17 编辑

此题本质是绕空间直线旋转.

被 2#乌贼,6#kuing 碾压了,一个是图形线段计算,一个是等效直接败下\阵来,干脆按自己的想法尝试一下吧.


题:矩形纸片 $ABCD$ 放置于桌面上,将其绕着 $AB$ 翻转至 $ABC_1D_1$,使得纸片与桌面成 $30^\circ$ 二面角. 再以 $AD_1$ 为棱,将其翻转至 $AB_2C_2D_1$,使其与翻转前的平面也成 $30^\circ$ 二面角, 求平面 $AB_2C_2D_1 $ 与桌面所成二面角的正切值 $\tan \theta$.



r-l.png
2021-10-15 11:22





解:提醒:用到了向量积的叉乘(外积),有意的.


如图所示建立空间直角坐标系,点 $A$ 是原点.  由于矩形的边长比不影响两个平面所成的角,不妨设 $AB/AD=1$ 即令 $AB=AD=2$,则
$A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$,$D_1(0,\sqrt 3,1)$.
设$B_2(x_0,y_0,z_0)$,则$\vv {AB}=(2,0,0)$,$\vv{AD_1}=(0,\sqrt 3,1)$,$\vv{AB_2}=(x_0,y_0,z_0)$.

注意到此时$$\abs{\vv {AB_2}\times \vv{AB}}=2\cdot 2\cdot \sin 30^\circ=2=\abs{\vv {AD_1}}.$$
于是有
\begin{align*}
&\abs{\vv{AB_2}}=2,\vv {AB_2}\times \vv{AB}=\vv{AD_1},\\
\iff& x_0^2+y_0^2+z_0^2=4, \ \ \begin{vmatrix}\vv i & \vv j & \vv k \\x_0 & y_0 & z_0\\2 & 0 & 0\end{vmatrix}=(0,\sqrt 3,1)\\
\Rightarrow & \vv{AB_2}=(x_0,y_0,z_0)=\left(\sqrt 3,-\frac 12,\frac {\sqrt 3}2\right)
\end{align*}
平面$ABCD$的法向量为$\vv{n_1}=(0,0,1)$. 而$\vv {AB_2}\times \vv{AD_1}=(-2,-\sqrt 3,3)$,可取平面$AB_2C_2D_1$的法向量为$\vv{n_2}=(-2,-\sqrt 3,3)$,于是所求二面角 $\theta$ 的余弦值为$\cos \theta = \cos\langle \vv{n_1},\vv{n_2}\rangle=\frac 34$,则 $\tan \theta =\frac {\sqrt 7}3$.

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