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分数指数幂求极限结果不同[现学现用问题]——有点意思

本帖最后由 isee 于 2021-10-12 21:29 编辑

由洛必达法则可知$$\lim _{x \to -8}\frac {\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}=-\frac 32\lim _{x \to -8}\frac {(1-x)^{-1/2}}{x^{-2/3}}=-2.$$


Mathematica  中代码   Limit[((1 - x)^(1/2) - 3)/(2 + x^(1/3)), x -> -8]   输出结果为 0,这明显有误,但哪里有问题?






现搜索了下,Limit[(Sqrt[1 - x] - 3)/(2 + CubeRoot[x]), x -> -8]  输出正确 -2

这咋回事儿?
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改成 Limit[((1 - x)^(1/2) - 3)/(2 - (-x)^(1/3)), x -> -8] 即可
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回复 2# kuing


呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃呃

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回复 2# kuing


   Mathematica 中实数时,$x^{\alpha},\alpha\in ,\mathbf R$,要求$x>0$?

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大概是因为 负数 的分数次幂,在 mma 里的规则和我们平常不同。
在 mma 里 (-1)^(1/3) = `\frac12+\frac{\sqrt3}2i`。

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回复 5# kuing


   还真是当成复数算,涨知识了

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(-1)^(2/3) 为 `-\frac12+\frac{\sqrt3}2i`。
Solve[x^3 == -1] 得 {{x -> -1}, {x -> (-1)^(1/3)}, {x -> -(-1)^(2/3)}}

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回复 7# kuing


    估计也是 FAQ 了吧,第一次见,有意思

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`-1=\exp (i\pi )`,于是
\begin{align*}
(-1)^{1/3}&=\exp \left( {i\frac \pi 3} \right)=\cos \frac \pi 3+i\sin \frac \pi 3=\frac 12+\frac {\sqrt 3}2i,\\
(-1)^{2/3}&=\exp \left( {i\frac {2\pi }3} \right)=\cos \frac {2\pi }3+i\sin \frac {2\pi }3=-\frac 12+\frac {\sqrt 3}2i,
\end{align*}估计是这样的意思吧……
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回复 9# kuing

应该是的,这样就与高等数学中统一了.

包括 GGB, 但凡遇到或极限,或积分等分析里等等公式,都要小心谨慎.

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回复 8# isee

嗯FAQ,再给个链:https://mathematica.stackexchang ... for-example-sqrt3-8

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是的,负数做分数次方的时候和平时的立方根之类的不一样:
(-8)^(1/3)==CubeRoot[-8]
显示False

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